선형대수학

행공간과 열공간 $ A $ 를 다음과 같은 $ m \times n $ 행렬이라 가정하자.$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$이때 $ m $ 개의 벡터 $ \mathbf{r_i} $ $ (i = 1, 2, \cdots, m ) $ 와 $ n $ 개의 벡터 $ \mathbf{c_j} $ $ ( j = 1, 2, \cdots, n) $ 을 다음과 같이 가정하자.$$ \mathbf{r_1} = \begin{bmatrix} ..

$ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해공간 $ A $ 를 $ m \times n $ 행렬이라 할 때 $ A \mathbf{x} = 0 $ 이 동차연립일차방정식이라 가정하자.이 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 확대행렬의 기약 행 사다리꼴이 있을 때 기약 행 사다리꼴은 첫 행부터 $ r $ 개의 영이 아닌 행을 갖는다 하자.이때 확대행렬은 $ \left[ \begin{array}{c:c} A & 0 \end{array} \right] $, 기약행사다리꼴은 $ \left[ \begin{array}{c:c} B & 0 \end{array} \right] $ 으로 나타낸다.$ r = n $ 이면 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해는 $ \ma..

기저 (Basis) $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_m} \} \subset V $ 가 존재하고 $ V $ 가 벡터공간일 때 $ S $ 가 일차독립이고, $ S $ 가 $ V $ 를 생성한다면 $ S $ 를 $ V $ 의 기저라 한다. 또한 $ S $ 가 $ V $ 의 기저이면 임의의 벡터 $ \mathbf{x}  \in V $ 를 $ S $ 의 벡터들의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있다.유일하게 나타낼 수 있다는 증명은 다음과 같다. $ \mathbf{x}  \in V $ 라 할 때 $ \left = V $ 이므로, 즉 $ S $ 의 벡터들의 일차결합으로 $ \mathbf{x} $ 를 나타낼 수 있으므로 $ \mathbf{x} = h..

생성집합 (Spanning Set) $ V $ 가 벡터공간이고 $ V $ 의 원소인 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \cdots $, $\mathbf{x_m} $ 에 대하여 $ k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2}+ \cdots + k_m \mathbf{x_m} (k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{R}) $ 를, 즉 각 벡터에 실수를 곱한 것을 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \cdots $, $\mathbf{x_m} $의 일차결합(linear combination)이라 한다. 이를 활용하여 어떤 벡터를 어떤 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수도 있다. 특히 $ V $ 가 벡터공간일 ..

벡터공간 (Vector Space) 벡터공간은 다음과 같이 정의한다. 이때 벡터공간의 원소를 벡터(vector), 실수를 스칼라(scalar)라 한다.공집합이 아닌 집합 $ V $ 에 임의의 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 합 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} $ 와 스칼라 곱 $ k \mathbf{x} $ 가 정의되어 있고, 다음을 만족하면 $ V $ 를 벡터공간이라 한다.모든 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 에 대하여 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x} $ 가 성립한다.모든 $ \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mat..

$ n $ 차원 벡터 $ \mathbb{R}^3 $ 에서 정의한 벡터를 $ \mathbb{R}^n $ 의 벡터로 일반화시켜 벡터의 성질을 확인할 수 있다. 대부분 성질은 $ \mathbb{R}^3 $ 에서 정의되었던 벡터의 성질을 공유한다.$ n $ 개의 실수의 순서쌍을 $ n $ 차원 벡터(n-dimensional vector)라 하고 3차원 벡터와 마찬가지로 수열이나 행렬로 나타내며, 각 원소를 성분이라 한다. 덧셈과 스칼라 곱 역시 동일한 방식으로 계산하도록 정의한다.크기 역시 비슷한데, $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots , x_n) $ 일 때 이 벡터의 크기는 $ \| \mathbf{x} \| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2 } $ 이다.기..

정사영 (Orthogonal Projection) $ \mathbb{R}^3 $ 의 벡터 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{OP} $ 와 $ \mathbf{y} = \overrightarrow{OQ} \leq \mathbf{0} $ 가 있을 때, 점 $ P $ 에서 직선 $ OQ $ 에 내린 수선읠 발을 $ R $ 이라 하면 벡터 $ \mathbf{x_1} = \overrightarrow{OR} $ 을 $ \mathbf{y} $ 위로의 $ \mathbf{x} $ 의 정사영이라 한다.정사영은 다음과 같이 나타낸다.$$ \mathbf{x_1} = \operatorname{proj}_\mathbf{y} \mathbf{x} $$이때 $ \mathbf{x_2} = \overrightarrow..

내적 (Inner Product) $ \mathbb{R}^3 $ 에서 두 벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} $ 의 내적은 다음과 같이 정의된다.$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 + y_3 $$ 이때 영벡터가 아닌 두 벡터의 끼인각을 $ \theta $ $ (0 \leq \theta \leq \pi) $ 라 하면 $ \text{cosine} $ 제2법칙에 의해 다음이 성립한다.$$ \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \..

벡터 (Vector) 1차원 공간 $ \mathbb{R}^1 $, 2 차원 공간 $ \mathbb{R}^2 $, 3차원 공간 $ \mathbb{R}^3 $ 의 벡터는 기하학의 개념인 유향선분(directed line segment)으로 표현할 수 있고, 이때 유향선분의 화살표는 방향을, 길이는 크기(norm)를 나타내며, 출발점은 처음점(intial point), 종점을 끝점(termianl point)이라 한다. 크기와 방향으로 나타내는 벡터를 유클리드 벡터라 한다.만약 유클리드 벡터 $ \mathbf{x} $ 의 처음점이 $ A $ 이고 끝점이 $ B $ 라면 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{AB} $ 로 나타내며, 크기는 $ \left\| \mathbf{x} \right\| ..

크라메르 공식 (Cramer's Rule) 행렬식을 이용하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법에 관련된 공식이다.연립일차방정식이 다음과 같다 가정하자.$$ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \qquad \qquad \qquad \quad \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n \end{cases} $$이를 $ AX = B $ 로 나타내면 $ A $ 와 $ B $ 와 $ X $ 는 아래와 같다.$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a..