[Linear Algebra] 다차원 벡터(multidimensional vector)

---

$ n $ 차원 벡터

 

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 정의한 벡터를 $ \mathbb{R}^n $ 의 벡터로 일반화시켜 벡터의 성질을 확인할 수 있다. 대부분 성질은 $ \mathbb{R}^3 $ 에서 정의되었던 벡터의 성질을 공유한다.

$ n $ 개의 실수의 순서쌍을 $ n $ 차원 벡터(n-dimensional vector)라 하고 3차원 벡터와 마찬가지로 수열이나 행렬로 나타내며, 각 원소를 성분이라 한다. 덧셈과 스칼라 곱 역시 동일한 방식으로 계산하도록 정의한다.크기 역시 비슷한데, $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots , x_n) $ 일 때 이 벡터의 크기는 $ \| \mathbf{x} \| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2 } $ 이다.

기본 성질 역시 비슷하다. $ \mathbf{R}^3 $ 의 벡터 $ \mathbf{x} $, $ \mathbf{y} $, $ \mathbf{z} $ 와 스칼라 $ h, k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음이 성립한다.

• $ \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x} $
• $ (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) $
• $ \mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} $
• $ \mathbf{x} + ( - \mathbf{x}) = \mathbf{0} = ( - \mathbf{x}) + \mathbf{x} $
• $ k (\mathbf{x}+\mathbf{y}) = k \mathbf{x} + k \mathbf{y} $
• $ (h + k) \mathbf{x} = h \mathbf{x} + k \mathbf{x} $
• $ (hk) \mathbf{x} = h (k \mathbf{x}) $
• $ 1 \mathbf{x} = \mathbf{x} $

 

---

내적

 

 $ \mathbf{R}^n $ 의 두 벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} $ 와 $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} $$ 의 내적은 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$

또한 이 정의로부터 $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \| \mathbf{x} \| ^2 $ 이다.

$ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 및 $ \mathbf{z} $ 가 $ \mathbb{R}^2 $ 의 벡터이고, $ k \in \mathbb{R} $ 일 때 다음이 성립한다.

• $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \geq 0 , \qquad \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = 0 \Longleftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0} $
• $ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} $
• $ (\mathbf{x} + \mathbf{y} ) \cdot \mathbf{z} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{z} $
• $ (k \mathbf{x} ) \cdot \mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot (k \mathbf{y}) = k (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) $

 

---

단위벡터

 

역시 크기가 $ 1 $ 인 벡터를 단위벡터라 한다. 즉 $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ 일 때 $ \mathbf{u} = \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} $ 이다.

기본단위벡터는 성분 중 하나만 $ 1 $ 이고, 나머지 성분은 $ 0 $ 인 단위벡터이다.

 

---

절대부등식

 

• 코시-슈바르츠 부등식

$ \mathbb{R}^n $ 의 벡터 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 즉 다음과 같다.

$$ | \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} | \leq \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| $$

따라서 $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ 이고, $ \mathbf{y} \neq \mathbf{0} $ 일 때 $ -1 \leq \dfrac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \|} \leq 1 $ 이다. 따라서 두 벡터의 끼인각 $ \theta $ 를 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ \cos \theta = \dfrac{ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} }{\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \|} \qquad 0 \leq \theta \leq \pi $$

정리하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| \cos \theta $$

3차원 공간벡터와 마찬가지로 두 벡터의 내적이 0 이면 두 벡터는 직교한다고 하고, 하나의 벡터가 다른 벡터의 스칼라 곱이라면 두 벡터는 평행하다고 한다.

 

• 삼각부등식

$ \mathbb{R}^n $ 의 벡터 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 에 대하여 삼각부등식이 성립한다. 즉 다음과 같다.

$$ \| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \| $$