[Linear Algebra] 공간벡터의 내적(inner product)과 외적(cross product)

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내적 (Inner Product)

 

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 두 벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} $ 의 내적은 다음과 같이 정의된다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 + y_3 $$

 

이때 영벡터가 아닌 두 벡터의 끼인각을 $ \theta $ $ (0 \leq \theta \leq \pi) $ 라 하면 $ \text{cosine} $ 제2법칙에 의해 다음이 성립한다.

$$ \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\| ^2 = \| \mathbf{x} \| ^2 + \| \mathbf{y} \|^2 - 2 \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| \cos \theta $$

$$ \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\| ^2 = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) - 2 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3) $$

$$ = \| \mathbf{x} \| ^2 + \| \mathbf{y} \| ^2 - 2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| \cos \theta $$

즉 내적을 이용하여 끼인각을 구할 수 있고, $ \theta = 0 $ 이거나 $ \theta = \pi $ 라면 $ \mathbf{x} = k \mathbf{y} $ 인 스칼라 $ k $ 가 존재하고, 이를 평행(parallel)하다고 하며, 또 만약 $ \theta = \pi / 2 $ 라면 두 벡터의 내적은 $ 0 $ 이므로 이를 직교(orthogonal)한다고 한다. 이를 영벡터에 적용해 생각해본다면 영벡터는 모든 벡터와 직교하며 평행하다.

 

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벡터방정식 (Vector Equation)

 

• 직선의 방정식

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 직선은 한 점과 직선과 평행인 영벡터가 아닌 벡터에 의해 결정되는데, 직선을 결정하는 점이 $ P_0 = (x_0, y_0, z_0) $ 이고, 직선과 평행인 영벡터가 아닌 벡터가 $ \mathbf{v} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j} + c \mathbf{k} $ 일 때, 점 $ P(x, y, z) $ 가 직선 위 점일 필요충분조건은 다음과 같다.

$$ \exists t \in \mathbb{R} : \overrightarrow{P_0 P} = t \mathbf{v} $$ 

이때 $ \mathbf{p_0} = \overrightarrow{OP_0} $ 이고 $ \mathbf{p} = \overrightarrow{OP} $ 라 하면 $ \overrightarrow{P_0 P} = \mathbf{p_0} - \mathbf{p} $ 이므로 직선의 벡터방정식은 다음과 같다.

$$ \mathbf{p} = \mathbf{p_0} + t \mathbf{v} $$

이를 성분으로 보면 $ (x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t (a, b, c) $ 이므로 매개방정식(parametric equation)은 다음과 같다.

$$ x= x_0 + t a , \quad y = y_0 + t b , \quad z = z_0 + t c , \qquad t \in \mathbb{R} $$

이를 다시 대칭방정식(symmetric equation)으로 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$$ \dfrac{x-x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c} $$

 

• 평면의 방정식

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 평면은 평면상의 한 점과 평면에 수직인 영벡터가 아닌 벡터에 의해 결정되는데, 평면상의 한 점이 $ P_0 = (x_0, y_0, z_0) $ 이고, 평면에 수직인 영벡터가 아닌 벡터가 $ \mathbf{n} = A \mathbf{i} + B \mathbf{j} + C\mathbf{k} $ 일 때, 점 $ P (x, y, z) $ 가 평면 위 점일 필요충분조건은 다음과 같다.

$$ \overrightarrow{P_0 P} \cdot \mathbf{n} = 0 $$

이때 $ A ( x - x_0 ) + B ( y - y_0) + C (z- z_0 ) = 0 $ 이므로 $ D = A  x_0 + B y_0 + C z_0 $ 라 하면 평면의 방정식은 다음과 같다.

$$ A x + B y + C z = D $$

 

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외적 (Cross Product)

 

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 두 벡터 $ \mathbf{x} = x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j} + x_3 \mathbf{k} $, $ \mathbf{y} = y_1 \mathbf{i} + y_2 \mathbf{j} + y_3 \mathbf{k} $ 의 내적은 다음과 같이 정의된다.

$$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = (x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathbf{i} + (x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathbf{j} + (x_1 y_2 - x_2 y_1 ) \mathbf{k} $$

외적을 계산할 때는 행렬식을 이용할 수도 있다.

$$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3 \end{matrix} \right| \mathbf{i} - \left| \begin{matrix} x_1 & x_3 \\ y_1 & y_3 \end{matrix} \right| \mathbf{j} + \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{matrix} \right| \mathbf{k} $$

참고로 두 벡터의 내적은 스칼라이고, 두 벡터의 외적은 벡터이다.

 

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내적과 외적의 성질

 

벡터 $ \mathbf{x} = x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j} + x_3 \mathbf{k} $, $ \mathbf{y} = y_1 \mathbf{i} + y_2 \mathbf{j} + y_3 \mathbf{k} $, $ \mathbf{z} = z_1 \mathbf{i} + z_2 \mathbf{j} + z_3 \mathbf{k} $ 를 가정할 때 다음 성질들이 성립한다.

 

• 내적과 외적

$$ \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{y} \times \mathbf{z}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} $$

$$ \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{x} \times \mathbf{y}) = 0 $$

$$ \mathbf{y} \cdot ( \mathbf{x} \times \mathbf{y} ) = 0 $$

$$ \| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \| ^2 = \| \mathbf{x} \| ^2 \| \mathbf{y} \| ^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) ^2 $$

 

• 오른손 법칙 (Rignt Hand Rule)

위 법칙으로부터 $ \mathbf{x} \times \mathbf{y} $ 가 각 벡터로부터 모두 수직인 벡터임을 확인할 수 있다. 따라서 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 가 평행이 아니라면 두 벡터의 외적인 벡터는 두 벡터가 결정하는 평면에 수직인 벡터이다. 이때 외적인 벡터의 방향은 오른손 법칙에 의하여 결정된다.

$ \mathbf{x} $ 가 가리키는 방향을 오른손 검지로, $ \mathbf{y} $ 가 가리키는 방향을 오른손 중지로 가리켰을 때 오른손 엄지가 가리키는 방향이 두 벡터 외적의 방향이다. 끼인 각이 $ \theta $ 일 때 아래 그림을 참고하자.

출처: https://tikz.net/

두 벡터의 외적의 크기를 다음과 같이 확인할 수 있다.

$ \| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \| ^2 = \| \mathbf{x} \| ^2 \| \mathbf{y} \| ^2 - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) ^2 $

$ = \| \mathbf{x} \| ^2 \| \mathbf{y} \| ^2 (1- \cos ^2 \theta) $

$ = \| \mathbf{x} \| ^2 \| \mathbf{y} \| \sin^2 \theta $

즉 영벡터가 아닌 두 벡터의 외적의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같고, 이를 통해 다음이 성립한다.

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 두 벡터 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 가 평행할 필요충분조건은 $ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = \mathbf{0} $ 이다.

 

• 기본단위벡터의 외적

$$ \mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{0}, \qquad \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{0}, \qquad \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0} $$

$$ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \qquad \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \qquad \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} $$

 

• $ \mathbb{R}^3 $ 에서의 성질

$ k \in \mathbb{R} $ 이라 할 때 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = - (\mathbf{y} \times \mathbf{x}) $$

$$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = ( \mathbf{x} \times \mathbf{y} ) + ( \mathbf{x} + \mathbf{z}) $$

$$ ( \mathbf{x} + \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = ( \mathbf{x} \times \mathbf{z} ) + ( \mathbf{y} \times \mathbf{z} ) $$

$$ k (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (k \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = \mathbf{x} \times (k \mathbf{y}) $$

$$ \mathbf{x} \times \mathbf{x} = \mathbf{0} $$

$$ \mathbf{0} \times \mathbf{x} = \mathbf{0} = \mathbf{x} \times \mathbf{0} $$

$$ (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{z} ) \mathbf{x} $$

$$ \mathbf{x} \times ( \mathbf{y} \times \mathbf{z} ) = ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) \mathbf{z} $$