[Linear Algebra] 벡터(vector)의 정의와 연산 및 성질 그리고 단위벡터(unit vector)

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벡터 (Vector)

 

1차원 공간 $ \mathbb{R}^1 $, 2 차원 공간 $ \mathbb{R}^2 $, 3차원 공간 $ \mathbb{R}^3 $ 의 벡터는 기하학의 개념인 유향선분(directed line segment)으로 표현할 수 있고, 이때 유향선분의 화살표는 방향을, 길이는 크기(norm)를 나타내며, 출발점은 처음점(intial point), 종점을 끝점(termianl point)이라 한다. 크기와 방향으로 나타내는 벡터를 유클리드 벡터라 한다.

만약 유클리드 벡터 $ \mathbf{x} $ 의 처음점이 $ A $ 이고 끝점이 $ B $ 라면 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{AB} $ 로 나타내며, 크기는 $ \left\| \mathbf{x} \right\| = \left\| \overrightarrow{AB} \right\| $ 로 나타낸다. 이때 벡터의 크기가 0 이라면 영벡터(zero vector)라 하고 $ \mathbf{0} $ 으로 나타낸다.

벡터 표기는 보통 볼드체를 사용하여 $ \mathbf{x} $ 처럼 나타내거나, 화살표를 붙여 $ \overrightarrow{x} $ 로 나타내거나, 칠판체를 사용하여 $ \mathbb{x} $ 로 나타내는데, 칠판체의 경우 볼드체와 차이가 없으므로 볼드체로 사용하겠다. 스칼라는 일반적인 이텔릭체를 사용한다.

유클리드 벡터는 크기와 방향으로 정의되기 때문에 만약 크기와 방향이 같다면 그 벡터들은 같다(equal)고 정의한다. 즉 평행이동으로 얻어진 유클리드 벡터는 모두 같다.

$ \mathbb{R}^3 $ 의 유클리드 벡터를 일반화하여 세 실수의 순서쌍, 혹은 행렬로 나타낼 수 있다. 이때 벡터를 공간벡터라 한다. 이는 $ \mathbb{R}^2 $ 에서 정의된 평면벡터와 구분하기 위한 정의이고, $ \mathbb{R}^n $ 에서 정의된 벡터 역시 공간벡터라 한다. 다만 앞으로 사용되는 공간벡터라는 용어는 $ \mathbb{R}^3 $ 에서의 벡터이다.

$$ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $$

이때 $ x_1, x_2, x_3 $ 를 공간벡터 $ \mathbf{x} $ 의 성분(component)이라 하며, $ \left\| \mathbf{x} \right\| = \sqrt{(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2} $ 이다.

 

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공간벡터의 연산 및 성질

 

행렬로 나타낸 공간벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $ 와 $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_ 2 \\ y_ 3 \end{bmatrix} $ 의 연산은 다음과 같다.

• 벡터의 합

$ \mathbf{x} + \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \end{bmatrix} $

이는 두 공간벡터에 의해 만들어지는 평생사변형의 대각선을 벡터로 표현한 것과 같다.

• 스칼라 곱

$ k \mathbf{x} = \begin{bmatrix} k x_1 \\ k x_2 \\ k x_3 \end{bmatrix} $

이는 $ k $ 가 음수일 때는 반대 방향, 양수일 때는 같은 방향에 크기를 $ k $ 배 한 벡터와 같고, $ k = 0 $ 이면 벡터는 영벡터가 된다.

 

위 정의에 의해 벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{z} = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix} $ 와 스칼라 $ h, k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음 성질이 성립한다.

• $ \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x} $
• $ (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) $
• $ \mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} $
• $ \mathbf{x} + ( - \mathbf{x}) = \mathbf{0} = ( - \mathbf{x}) + \mathbf{x} $
• $ k (\mathbf{x}+\mathbf{y}) = k \mathbf{x} + k \mathbf{y} $
• $ (h + k) \mathbf{x} = h \mathbf{x} + k \mathbf{x} $
• $ (hk) \mathbf{x} = h (k \mathbf{x}) $
• $ 1 \mathbf{x} = \mathbf{x} $

 

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단위벡터 (Unit Vector)

 

크기가 $ 1 $ 인 벡터를 단위벡터라 한다.

만약 영벡터가 아닌 벡터 $ \mathbf{x} $ 가 있다면 $ \dfrac{\mathbf{x}}{\left\| \mathbf{x} \right\| } $ 은 $ \mathbf{x} $ 와 방향이 같은 단위벡터이다.

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 단위벡터 $ \mathbf{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ 를 기본단위벡터(standard unit vector)라 한다.

따라서 앞선 스칼라 곱, 덧셈 연산 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j} + x_3 \mathbf{k} $$