[Linear Algebra] 여인수 전개(cofactor expansion)와 수반행렬(adjoint matrix)

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여인수 (Cofactor)

 

$ n $ 차 정사각행렬 $ A = \left[ a_{ij} \right] $ 의 $ i $ 행과 $ j $ 열을 제거하여 만든 부분행렬을 $ M_{ij} $, 소행렬(minor matrix)이라 하고, $ | M_{ij} | $ 를 $ a_{ij} $ 의 소행렬식(minor determinant)이라 하며, $ A_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}| $ 를 $ a_{ij} $ 의 여인수라 한다.

다음 행렬 $ A $ 를 가정하자.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$

행렬 $ A $ 를 통해 소행렬과 여인수를 구해보면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ M_{11} = \begin{bmatrix} \not{a_{11}} & \not{a_{12}} & \not{a_{13}} \\ \not{a_{12}} & a_{22} & a_{23} \\ \not{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$

$$ A_{11} = (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| $$

 

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여인수 전개 (Cofactor Expansion)

 

행렬 $ A $ 가 다음과 같다고 가정하자.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$

이때 $ A $ 의 행렬식은 다음과 같다.

$$ |A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{12} a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} $$

이는 다시 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ |A| = a_{11} \underbrace{(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})}_{A_{11}} + a_{12} \underbrace{(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})}_{A_{12}} + a_{12} \underbrace{(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})}_{A_{13}} $$

$$ \therefore |A| = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} $$

여기서 $ A_{11} , A_{12}, A_{13} $ 은 여인수이다.

이렇게 $ |A| $ 를 계산하는 것을 행렬 $ A $ 의 1 행에 대한 여인수 전개라 한다. 다른 행에 대해서도 여인수 전개를 할 수 있고, 이를 통해 $ |A| $ 를 계산할 수 있다. 또한 행이 아니라 열에 대해서도 가능하다. 참고로 피에르시몽 라플라스가 고안하였기에 여인수 전개가 아니라 라플라스 전개(Laplace expansion)라고도 한다.

일반화하여 나타내면 $ n $ 차 정사각행렬 $ A = \left[ a_{ij} \right] $ 의 행렬식은 $ i $ 행에 대하여 여인수 전개하면 다음과 같다.

$$ |A| = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} $$

여인수 전개는 상황에 따라 행렬식을 간편하게 계산하는 방법 중 하나이다.

 

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수반행렬 (Adjoint Matrix)

 

$ n $ 차 정사각행렬 $ A = \left[ a_{ij} \right] $ 에서 $ a_{ij} $ 의 여인수를 $ A_{ij} $ 라 하면 $ \left[ A_{ij} \right] ^T $, 즉 여인수로 이루어진 행렬의 전치행렬을 $ A $ 의 수반행렬이라 하고, $ \operatorname{adj}{A} $ 로 나타낸다. 즉 다음이 성립한다.

$$ \operatorname{adj}{A} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} $$

이때 $ A $ 가 가역이면 $ A $ 의 역행렬은 다음과 같다.

$$ A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \operatorname{adj}{A} $$