[Linear Algebra] 행렬과 연립일차방정식의 해

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유일한 해

 

연립일차방정식을 $ AX = B $ 꼴로 나타낼 때, 만약 $ A $ 가 $ n $ 차 정사각행렬이면서 가역행렬이고, $ B $ 가 $ n \times 1 $ 행렬이라면 이 연립일차방정식은 유일한 해 $ X = A^{-1}B $ 를 갖는다. 증명은 다음과 같다.

$ n $ 차 정사각행렬을 $ A $ 는 가역행렬이므로 $ A^{-1} $ 이 존재한다. 연립일차방정식 $ AX = B $ 양변에 $ A^{-1} $ 을 곱하면 $ A^{-1}(AX) = A^{-1}B $ 이다. 이는 $(A^{-1}A)X = A^{-1}B $ 이고, $ I_n X = A^{-1}B $ 이며, $ X = A^{-1}B $ 이다. $ A $ 의 역행렬은 유일하므로 $ X = A^{-1}B $ 는 유일한 해이다.

 

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동차연립일차방정식과 비동차연립일차방정식

 

• 동차연립일차방정식 (Homogeneous System of Linear Equation)

연립일차방정식이 $ n $ 개의 미지수를 갖는 $ m $ 개의 일차방정식으로 이루어져서 다음과 같다 가정하자.

$$ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases} $$

이때 $ i = 1, 2, \cdots , m $ 인 $ b_i $ 가 모두 0 이라면, 즉 상수항이 모두 0 이라면, 이 연립일차방정식을 동차연립일차방정식이라 한다.

 

• 비동차연립일차방정식 (Nonhomogeneous System of Linear Equation)

동차연립일차방정식이 아닌 연립일차방정식을 비동차연립일차방정식이라 한다. 즉 상수항 중 하나라도 0 이 아니라면 비동차연립일차방정식이다.

 

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자명한 해 (Trivial Solution) 및 자명하지 않은 해 (Nontrivial Solution)

 

어떤 동차연립일차방정식이 있고, 이를 $ AX = B $ 로 나타낸다면 $ B = O $ , 즉 $ B $ 는 영행렬이다. 다시 쓰면 $ AX = O $ 이다. 따라서 이 동차연립일차방정식은 $ x_1 = 0, x_2 = 0, \cdots , x_n = 0 $ 이 해가 되기 때문에 적어도 한 개의 해를 가진다. 이때의 $ X = O $ 인 해를 자명한 해라고 한다.

만약 $ X \neq O $ 인 해가 있다면 이 해를 자명하지 않은 해라고 한다.

일반적으로 연립일차방정식은 해가 유일하거나, 무수히 많거나, 없지만, 동차연립일차방정식은 자명한 해 하나만 해로 가지거나, 무수히 많은 해를 가진다.

동차연립일차방정식은 $ m < n $ 이면, 즉 미지수의 수가 일차방정식의 수보다 많다면 자명하지 않은 해를 갖기 때문에 무수히 많은 해를 가진다. 증명은 다음과 같다.

등차연립일차방정식을 $ AX = O $ 라 표현할 때, $ A $ 와 행동치인 기약 행 사다리꼴 행렬 $ C $ 를 가정하자. 그렇다면 $ AX = O $ 와 $ CX = O $ 가 행동치이다. $ C $ 의 0 이 아닌 행의 개수를 $ k $ 라 하면 $ k \leq m $ 이다. $ m < n $ 이면 $ k < n $ 이기 때문에 $ (n - k) $ 개의 미지수를 실수로 하여 $ CX = O $ 의 해를 구할 수 있을 것이다. 이때의 해는 실수이므로 자명하지 않은 해이다. $ AX = O $ 와 $ CX = O $ 가 행동치이기 때문에 동차연립일차방정식 $ AX = O $ 는 자명하지 않은 해를 가진다.