[Linear Algebra] 역행렬 계산과 기본행렬

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역행렬 (Inverse Matrix)

 

실수 영역에서 어떤 수에 곱했을 때 결과값을 1 로 만드는 역수가 있다면, 행렬에서는 곱했을 때 결과 행렬을 단위행렬로 만드는 행렬이 있고, 이 행렬을 역행렬이라 한다. 즉 어떤 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 가 있을 때 아래를 만족하는 행렬 $ B $ 를 역행렬이라 하며, $ A^{-1} $ 로 나타낸다.

$$ AB = I_n = BA , \quad B = A^{-1} $$

이렇게 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix) 혹은 가역행렬(invertible matrix)이라 한다. 역행렬이 존재하지 않을 수 있는데, 이 경우는 특이행렬(singular matrix) 혹은 비가격행렬(noninvertible matrix)이라 한다. 실수 영역에서도 0 은 어떤 수를 곱해도 0 이기 때문에 역수가 없는 것과 유사하게 행렬도 역행렬이 없을 수 있는 것이다. 물론 실수와 다르게 역행렬이 없는 특이행렬은 무수히 많이 존재한다.

 

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역행렬의 유일성

 

만약 행렬 $ A $ 가 정칙행렬이라 하면, $ A $ 의 역행렬인 $ A^{-1} $ 은 유일하다.

만약 행렬 $ B $ 와 $ C $ 가 $ A $ 의 역행렬이라 가정하면 다음이 성립한다.

$$ AB = I_n = BA, \quad AC = I_n = CA $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ B = BI_n = B(AC) = (BA)C = I_nC = C $$

즉 $ B = C $ 이므로, 역행렬은 하나만 존재한다.

 

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역행렬 계산

 

• 2×2 행렬의 역행렬 공식

$$ {\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}}^{-1} = \dfrac{1}{A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}} \begin{bmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{bmatrix} \quad \quad (A_{11} A_{22} \neq A_{12} A_{21}) $$

 

• 가우스-요르단 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

역행렬을 구하려는 원래 행렬과 같은 크기를 같는 단위행렬을 포함시킨 확대행렬을 만든다.

$$ \begin{bmatrix} \begin{array}{c|c} A & I \end{array} \end{bmatrix} $$

이 행렬을 기본 행 연산을 통해서 아래와 같은 행렬로 만든다.

$$ \begin{bmatrix} \begin{array}{c|c} I & B \end{array} \end{bmatrix} $$

만약 위 행렬이 기본 행 연산을 통해 도출되었다면 $ B = A^{-1} $ 이다. 그러나 도출되지 않는다면 $ A $ 는 특이행렬로 역행렬이 존재하지 않는 것이다.

아래 예시를 통해 행렬의 역행렬을 구해보자.

$$ \begin{align} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} \begin{array}{c|c} A & I \end{array} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix} \end{align} $$

$$ \begin{align} (-2)R_1 + R_2 &\Longrightarrow \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{array} \end{bmatrix} \\ \\ (-1)R_2 &\Longrightarrow \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array} \end{bmatrix} \\ \\ (-2)R_2 + R_1 &\Longrightarrow \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array} \end{bmatrix} \end{align} $$

$$ \therefore A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$

2×2 행렬의 역행렬 공식을 적용한 것과 같은 답이 나온 것을 확인할 수 있다. 행렬의 크기가 2×2 인 경우는 공식을 이용하면 편하지만 크기가 커진다면 가우스-요르단 소거법을 활용하는 것이 좋다.

 

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역행렬의 성질

 

행렬 $ A $ 와 행렬 $ B $ 가 정칙행렬이고 같은 크기이며, $ \alpha $ 가 0 이 아닌 실수이면 다음이 성립한다.

• $ (A^{-1})^{-1} = A $
• $ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $
• $ (A^k)^{-1} = (A^{-1})^k, \quad k = 1, 2, 3, \cdots $
• $ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $
• $ (\alpha A)^{-1} = \dfrac{1}{\alpha} A^{-1} $

 

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기본행렬 (Elementary Matrix)

 

단위행렬 $ I $ 에 한 번의 기본 행 연산을 하여 얻어진 행렬을 기본행렬이라 한다. 주로 $ E $ 로 표시한다.

행렬 $ A $ 에 어떤 기본 행 연산을 하여 $ A_1 $ 을 얻었다고 가정하자. 이때 같은 기본 행 연산을 $ I $ 에 해주면 기본행렬 $ E_1 $ 가 나올텐데, $ E_1 A = A_1 $ 이 된다. 더 생각해본다면, $ A_1 $ 에 또 다른 기본 행 연산을 하여 $ A_2 $ 를 얻었다고 생각한다면, 역시 같은 기본 행 연산을 $ I $ 에 하여 얻어진 $ E_2 $ 를 이용하여 $ E_2 A_1 $ 을 계산하면 $ A_2 $ 를 얻을 수 있다. 주의해야 할 것은 기본행렬 $ E $ 는 $ A $ 앞에 놓고 곱해야 한다. 이것을 다시 풀어본다면, $ E_2 A_1 = A_2 \rightarrow E_2 E_1 A = A_2 \quad (\because A_1 = E_1 A) $ 이다.

이러한 성질을 일반화시키고, 가우스-요르단 소거법을 통한 역행렬 계산에 적용시켜 본다면 다음이 성립한다. $ \rightarrow $ 가 어떠한 기본 행 연산이라 가정하자.

$$ A \rightarrow_1 A_1 \rightarrow_2 \cdots \rightarrow_m A_m = I $$

$$ I \rightarrow_1 E_1, I \rightarrow_2 E_2 \cdots $$

$$ E_m E_{m-1} \cdots E_2 E_1 A = I $$

$$ I \rightarrow_1 E_1 \rightarrow_2 E_2 E_1 \rightarrow_3 \cdots \rightarrow_m A^{-1} $$

$$ E_m E_{m-1} \cdots E_2 E_1 = A^{-1} $$

 

추가로 기본행렬들은 정칙행렬이며 그 역행렬도 기본행렬이다. 두 개의 기본행렬 $ E_1 $, $ E_2 $ 가 있다고 가정해보자. 앞서 언급한 것을 적용시켜 본다면 $ E_2 E_1 I = I $ 라 할 수 있다. 이는 $ E_1 E_2 = I $ 로 나타낼 수 있고, 따라서 $ E_1 $ 은 $ E_2 $ 의 역행렬이다.