[Linear Algebra] 행렬의 분할과 연립 일차방정식

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행렬의 분할

 

하나의 행렬을 가로선과 세로선을 이용해서 몇 개의 블록으로 분할 가능하다. 이렇게 분할된 블록들을 행렬로 나타낼 수 있고, 이 행렬들을 원래 행렬의 부분행렬(submatrix)이라 한다. 또한 부분행렬의 성분으로 나타낸 원래 행렬을 블록행렬(block Matrix)라 한다.

예를 들어 아래와 같은 행렬이 있다고 가정하자.

$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5  & 2 & 1 \\ 9 & 5  & 0 & 2 \\ 2 & 6  & 3 & 7 \end{bmatrix}  $$

위 행렬을 임의로 분할해 아래와 같이 만들 수 있다.

$$ A = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 1 \\ \hdashline 9 & 5 & 0 & 2 \\ 2 & 6 & 3 & 7 \end{array} \end{bmatrix} $$

위 분할된 행렬을 부분행렬로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다.

$$ A = \begin{bmatrix} \begin{array}{c:c} A_{11} & A_{12} \\ \hdashline A_{21} &A_{22} \end{array} \end{bmatrix} $$

$$ A_{11} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}, \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad A_{21} = \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}, \quad A_{22} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} $$

즉 행렬 $ A $ 를 분할해서 만들어진 $ A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22} $ 가 부분행렬이고, 이 부분행렬들로 나타낸 행렬 $ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} &A_{22}  \end{bmatrix} $ 가 블록행렬이다.

 

이렇게 블록행렬을 만든 후에 행렬 연산을 하여 더 간편하게 행렬 연산을 할 수 있다. 예를 들어 아래와 같은 행렬 $ A $, $ B $ 가 있다고 가정하고 행렬 $ A $, $ B $ 를 곱해보자.

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} $$

이 행렬 $ A $, $ B $ 를 분할한다.

$$ A = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hdashline 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{array} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hdashline 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{array} \end{bmatrix} $$

분할된 것을 토대로 아래와 같은 블록 행렬로 만든다.

$$ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $$

$$ A_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad A_{21} = \begin{bmatrix} 9 & 10 \\ 13 & 14 \end{bmatrix}, \quad A_{22} = \begin{bmatrix} 11 & 12 \\ 15 & 16 \end{bmatrix} $$

$$ B_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad B_{22} = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} $$

이제 $ A B $ 를 계산한다.

$$ AB = \begin{bmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{bmatrix} $$

각 블록의 곱은 아래와 같다.

$$ A_{11}B_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A_{12}B_{21} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 23 & 22 \end{bmatrix} $$

$$ A_{11}B_{12} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 16 & 5 \end{bmatrix}, \quad A_{12}B_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 9 \\ 24 & 21 \end{bmatrix} $$

$$ A_{21}B_{11} = \begin{bmatrix} 9 & 10 \\ 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 10 \\ 13 & 14 \end{bmatrix}, \quad A_{22}B_{21} = \begin{bmatrix} 11 & 12 \\ 15 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35 & 34 \\ 47 & 46 \end{bmatrix} $$

$$ A_{21}B_{12} = \begin{bmatrix} 9 & 10 \\ 13 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 9 \\ 40 & 13 \end{bmatrix}, \quad A_{22}B_{22} = \begin{bmatrix} 11 & 12 \\ 15 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & 33 \\ 48 & 45 \end{bmatrix} $$

따라서 최종적으로는 아래와 같이 계산된다.

$$ AB = \begin{bmatrix} 1 + 11 & 2 + 10 & 4 + 12 & 1 + 9 \\ 5 + 23 & 6 + 22 & 16 + 24 & 5 + 21 \\ 9 + 35 & 10 + 34 & 28 + 36 & 9 + 33 \\ 13 + 47 & 14 + 46 & 40 + 48 & 13 + 45 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 12 & 16 & 10 \\ 28 & 28 & 40 & 26 \\ 44 & 44 & 64 & 42 \\ 60 & 60 & 88 & 58 \end{bmatrix} $$

 

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행벡터와 열벡터

 

행렬의 분할을 이용해서 어떤 행렬을 행벡터(row vector)나 열벡터(column vector)로 나타낼 수 있다. 행벡터는 한 개의 행을 갖는 행렬이고, 열벡터는 한 개의 열을 갖는 행렬이다. 따라서 어떠한 행렬을 분할을 통해 열이나 행으로 쪼개면 행벡터나 열벡터를 만들 수 있는 것이다.

아래와 같은 행렬 $ A $ 와 $ B $ 가 있다고 가정하자.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} $$

위 행렬들을 분할하여 아래와 같은 블록행렬로 만들 수 있다.

$$ A = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 & \cdots & A_n \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_n \end{bmatrix} $$

이렇게 행벡터와 열벡터로 곱연산을 할 수도 있다.

$$ AB = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 & \cdots & A_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_n \end{bmatrix} = A_1 B_1 + A_2 B_2 + \cdots + A_n B_n $$

 

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연립 일차방정식

 

연립 일차방정식은 일반적으로 아래와 같은 형태로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots +a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots +a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots +a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

이 연립 일차방적식을 아래와 같이 행렬의 곱을 이용해 나타낼 수 있다.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} , \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \quad B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} $$

$$ AX = B $$

이때 행렬 $ A $ 를 연립 일차방정식의 계수행렬(coefficient Matrix)이라 하고, $ A $ 에 $ B $ 를 붙인 행렬인 $ \begin{bmatrix} \begin{array}{c:c} A & B \end{array} \end{bmatrix} $ 를 연립 일차방정식의 확대행렬(augmented matrix) 혹은 첨가행렬이라 한다.

$$ \begin{bmatrix} \begin{array}{c:c} A & B \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \end{bmatrix} $$