크라메르 공식 (Cramer's Rule)
행렬식을 이용하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법에 관련된 공식이다.
연립일차방정식이 다음과 같다 가정하자.
$$ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \qquad \qquad \qquad \quad \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n \end{cases} $$
이를 $ AX = B $ 로 나타내면 $ A $ 와 $ B $ 와 $ X $ 는 아래와 같다.
$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $ $ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} $ $ B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} $
$ B_k $ 를 $ A $ 의 $ k $ 열을 $ B $ 로 바꾼 행렬이라 하고, $ |A| \neq 0 $ 이면 $ AX = B $ 의 유일한 해 $ x_k $ 는 다음과 같다.
$$ x_k = \dfrac{|B_k|}{|A|} \qquad ( k = 1, 2, \cdots, n ) $$
이를 크라메르 공식이라 한다.
$ | A | \neq 0 $ 이므로 $ A $ 는 가역이고, $ AX = B $ 는 유일한 해 $ X = A^{-1} B $ 를 갖는다.
$ A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \operatorname{adj}{A} $ 이다.
따라서 $ X $ 의 $ k $ 행의 성분은 $ x_k = \dfrac{b_1 A_{1k} + b_2 A_{2k} + \cdots + b_n A_{nk}}{|A|} $ 이다.
$ b_1 A_{1k} + b_2 A_{2k} + \cdots + b_n A_{nk} $ 는 $ A $ 의 $ k $ 열을 $ B $ 로 바꾼 행렬 $ B_k $ 의 행렬식이다.
따라서 $ x_k = \dfrac{|B_k|}{|A|} $ $ (k = 1, 2, \cdots, n) $ 이다.
크라메르 공식은 행렬식만을 이용해서 연립일차방정식의 해, 특정 미지수 값을 바로 찾을 수 있다는 장점이 있다. 그러나 $ n $ 개의 미지수를 포함하는 $ n $ 개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식은 $ n $ 차 행렬식을 $ n + 1 $ 개 구해야 하므로 $ n > 3 $ 일 때는 가우스 소거법을 이용하는 것이 효율적이다.
가역에 대한 동치
$ A $ 가 $ n $ 차 정사각행렬이라면 다음은 동치이다.
- $ A $ 는 가역이다.
- $ n \times 1 $ 행렬 $ B $ 에 대하여 연립일차방정식 $ AX= B $ 는 유일한 해를 갖는다.
- 동차연립일차방정식 $ AX = O $ 는 자명한 해만 갖는다.
- $ A $ 와 $ I_n $ 은 행 동치이다.
- $ |A| \neq 0 $
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