[Linear Algebra] 정사영(orthogonal projection)과 거리 공식

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정사영 (Orthogonal Projection)

 

$ \mathbb{R}^3 $ 의 벡터 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{OP} $ 와 $ \mathbf{y} = \overrightarrow{OQ} \leq \mathbf{0} $ 가 있을 때, 점 $ P $ 에서 직선 $ OQ $ 에 내린 수선읠 발을 $ R $ 이라 하면 벡터 $ \mathbf{x_1} = \overrightarrow{OR} $ 을 $ \mathbf{y} $ 위로의 $ \mathbf{x} $ 의 정사영이라 한다.

정사영은 다음과 같이 나타낸다.

$$ \mathbf{x_1} = \operatorname{proj}_\mathbf{y} \mathbf{x} $$

이때 $ \mathbf{x_2} = \overrightarrow{RP} $ 를 $ \mathbf{y} $ 에 수직인 $ \mathbf{x} $ 의 벡터성분(vector component)이라 한다. 따라서 $ \mathbf{x} = \mathbf{x_1} + \mathbf{x_2} $ 이다.

추가로 다음 성질이 성립한다. $ \mathbf{u} = \dfrac{\mathbf{y}}{\| \mathbf{y} \|} $ 일 때 $ \operatorname{proj}_{\mathbf{y}}\mathbf{x} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{u} $ 이고, $ \| \operatorname{proj}_{\mathbf{y}}\mathbf{x} \| = | \mathbf{x} \cdot \mathbf{u} | $ 이다.

 

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거리 공식

 

• 점과 직선 사이 거리

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 한 점 $ P $ 와 직선 $ l $ 의 거리 $ L $ 은 직선 $ l $ 위의 서로 다른 점 $ Q $ 와 $ R $ 에 대하여 다음과 같다.

$$ L = \dfrac{\| \overrightarrow{QR} \times \overrightarrow{QP} \|}{\| \overrightarrow{QR} \|} $$

 

• 점과 평면 사이 거리

$ \mathbb{R}^3 $ 에서 한 점 $ P_0 (x_0, y_0, z_0) $ 와 평면 $ Ax+By+Cz = D $ 의 거리 $ L $ 은 다음과 같다.

$$ L = \dfrac{| A x_0 + B y_0 + C z_0 - D |}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$