[Linear Algebra] 벡터공간(vector space)과 부분공간(subspace)

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벡터공간 (Vector Space)

 

벡터공간은 다음과 같이 정의한다. 이때 벡터공간의 원소를 벡터(vector), 실수를 스칼라(scalar)라 한다.

공집합이 아닌 집합 $ V $ 에 임의의 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 합 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} $ 와 스칼라 곱 $ k \mathbf{x} $ 가 정의되어 있고, 다음을 만족하면 $ V $ 를 벡터공간이라 한다.

• 모든 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 에 대하여 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x} $ 가 성립한다.
• 모든 $ \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V $ 에 대하여 $ (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + ( \mathbf{y} + \mathbf{z} ) $ 가 성립한다.
• 모든 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ \mathbf{x} +\mathbf{0} = \mathbf{x} = \mathbf{0} + \mathbf{x} $ 인 $ \mathbf{0} $ 이 $ V $ 에 단 하나 있다.
• 각 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ \mathbf{x} + (- \mathbf{x}) = \mathbf{0} = (- \mathbf{x} ) + \mathbf{x} $ 인 $ - \mathbf{x} $ 가 $ V $ 에 단 하나 있다.
• 모든 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $, $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ k ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) = k \mathbf{x} + k \mathbf{y} $ 가 성립한다.
• 모든 $ \mathbf{x} \in V $, $ h $, $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ (h + k) \mathbf{x} = h \mathbf{x} + k \mathbf{x} $ 가 성립한다.
• 모든 $ \mathbf{x} \in V $, $ h $, $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ (hk) \mathbf{x} = h (k \mathbf{x}) = k (h \mathbf{x}) $ 가 성립한다.
• 모든 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ 1 \mathbf{x} = \mathbf{x} $ 가 성립한다.

이때 $ \mathbf{0} $ 을 영벡터(zero vector)라 하고, 벡터 $ - \mathbf{x} $ 는 $ \mathbf{x} $ 에 대한 음벡터(negative vector)라 한다.

기본적으로 스칼라를 실수로 하며, 이를 실벡터공간(real vector space)라 하는데, 만약 스칼라를 복소수로 하는 벡터공간이 있다면 그 벡터공간은 복소벡터공간(complex vector space)라 한다. 앞서 실수를 스칼라로 하기로 하였으므로 여기서의 벡터공간은 실벡터공간이다.

앞선 성질 때문에 $ V $ 가 벡터공간이고 $ \mathbf{x} \in V $, $ k \in \mathbb{R} $ 라면 $ 0 \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 이고, $ k \mathbf{0} = \mathbf{0} $ 이며, $ (-1) \mathbf{x} = -\mathbf{x} $ 이다. 또한 $ k\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 라면 $ k = 0 $ 또는 $ \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 이며 이 역도 성립한다.

 

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부분공간 (Subspace)

 

부분공간은 벡터공간의 공집합이 아닌 부분집합이면서, 해당 벡터공간에서 정의된 합과 스칼라 곱에 대해 벡터공간이어야 한다.

즉 $ V $ 를 벡터공간, $ W $ 를 공집합이 아닌 $ V $ 의 부분집합이라 할 때 $ \forall \mathbf{x} , \mathbf{y} \in W $ 에 대하여 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in W $ 이고, $ \forall \mathbf{x} \in W $, $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ k\mathbf{x} \in W $ 이라면 $ W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.

 

• 부분공간의 교집합

$ W_1, W_2 $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분공간이라면 두 부분공간의 교집합인 $ W_1 \cap W_2 $ 도 $ V $ 의 부분공간이다. 증명은 다음과 같다.

$ \mathbf{0} \in W_1 \cap W_2 $ 이므로 $ W_1 \cap W_2 \neq \emptyset $ 이다. $ \mathbf{x} , \mathbf{y} \in W_1 \cap W_2 $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ W_1, W_2 $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분공간이므로 당연하게도 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in W_1, \mathbf{x} + \mathbf{y} \in W_2, k\mathbf{x} \in W_1, k \mathbf{x} \in W_2 $ 이다. 따라서 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in W_1 \cap W_2 $ 이면서 $ k\mathbf{x} \in W_1 \cap W_2 $ 이므로 $ W_1 \cap W_2 $ 는 $ V $ 의 부분공간이 된다.

 

• 부분공간의 합

$ W_1 $ 과 $ W_2 $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분공간이라면 $ W_1 + W_2 = \{ \mathbf{x} + \mathbf{y} \mid \mathbf{x} \in W_1, \mathbf{y} \in W_2 \} $ 를 두 부분공간의 합이라 한다.

 

• 부분공간의 직합

$ W_1 $ 과 $ W_2 $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분공간일 때 $ V = W_1 + W_2 $ 이고 $ W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \} $ 이라면 이를 두 부분공간의 직합(direct sum)이라 하고 $ V = W_1 \oplus W_2 $ 로 나타낸다.

더하여 $ V = W_1 \oplus W_2 $ 일 필요충분조건은 임의의 $ \mathbf{v} \in V $ 에 대하여 $ \mathbf{v} = \mathbf{w_1} + \mathbf{w_2} $ 인 유일한 $ \mathbf{w_1} \in W_1 $ 과 $ \mathbf{w_2} \in W_2 $ 의 존재이다.

 

• 해공간

행렬 $ A \subset M_{m \times n} $ 에 대하여 집합 $ W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A \mathbf{x} = \mathbf{0} \} $ 은 벡터공간 $ \mathbb{R}^n $ 의 부분공간이다. 또한 이때 $ W $ 를 연립방정식 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해공간(solution space) 혹은 $ A $ 의 영공간(null space)라 한다.