[Linear Algebra] 기저(basis)와 차원(dimension)

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기저 (Basis)

 

$ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_m} \} \subset V $ 가 존재하고 $ V $ 가 벡터공간일 때 $ S $ 가 일차독립이고, $ S $ 가 $ V $ 를 생성한다면 $ S $ 를 $ V $ 의 기저라 한다. 또한 $ S $ 가 $ V $ 의 기저이면 임의의 벡터 $ \mathbf{x}  \in V $ 를 $ S $ 의 벡터들의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

유일하게 나타낼 수 있다는 증명은 다음과 같다. $ \mathbf{x}  \in V $ 라 할 때 $ \left< S \right> = V $ 이므로, 즉 $ S $ 의 벡터들의 일차결합으로 $ \mathbf{x} $ 를 나타낼 수 있으므로 $ \mathbf{x} = h_1 \mathbf{x_1} + h_2 \mathbf{x_2} + \cdots + h_m \mathbf{x_m} (h_i \in \mathbb{R}) $ 라 할 수 있다.

또한 $ \mathbf{x} = k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_m \mathbf{x_m} (k_i \in \mathbb{R}) $ 라 할 수 있다.

즉, $ k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_m \mathbf{x_m} = h_1 \mathbf{x_1} + h_2 \mathbf{x_2} + \cdots + h_m \mathbf{x_m} $ 이다.

이항하면 $ (k_1 - h_1) \mathbf{x_1} + (k_2 - h_2) \mathbf{x_2} + \cdots + (k_m - h_m) \mathbf{x_m} = \mathbf{0} $ 이다.

$ S $ 가 일차독립이므로 $ k_1 - h_1 = k_2 - h_2 = \cdots = k_m - h_m = 0 $ 이고, 따라서 $ k_1 = h_1, k_2 = h_2, \cdots , k_m = h_m $ 이다.

즉 $ \mathbf{x} $ 는 $ S $ 의 벡터들의 유일한 일차결합으로 나타난다.

 

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표준기저 (Standard Basis)

 

가장 대표적인 기저는 $ \mathbb{R}^n $ 의 기본단위벡터로 이뤄지는 표준기저이다. 예를 들어 $ \mathbb{R}^2 $ 의 기본단위벡터 $ \mathbf{i}, \mathbf{j} $ 에 대하여 $ S = \{ \mathbf{i}, \mathbf{j} \} $ 는 일차독립이고 $ \left< S \right> = \mathbb{R}^2 $ 이므로 $ S $ 는 $ \mathbb{R}^2 $ 의 기저이다.

벡터공간 $ M_{m\times n} $ 에서 $ E_{ij} \in M_{m \times n} $ 을 $ (i, j) $ 의 성분만 $ 1 $ 이고 나머지 성분이 모두 $ 0 $ 인 행렬이라 하면, $ S = \{ E_{ij} \mid 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \} $ 은 $ M_{m \times n} $ 의 표준기저이다.

벡터공간 $ P_n = \{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots a_n x^n \mid a_0, a_1, \cdots , a_n \in \mathbb{R} \} $ 에서 $ S = \{ 1, x, \cdots, x^n \} $ 은 $ P_n $ 의 표준기저이다.

 

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차원 (Dimension)

 

벡터공간 $ V $ 의 기저 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_m} \} $ 이 존재하고, $ T = \{ \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \cdots, \mathbf{y_3} \} $ 를 $ V $ 의 부분집합이라 할 때 $ l > m $ 이면 $ T $ 는 일차종속이다. 즉 $ T $ 가 일차독립이면 $ l \leq m $ 이다. 따라서 $ S $ 와 $ T $ 가 벡터공간 $ V $ 의 기저라면, $ m = l $ 이다.

 $ S $ 가 $ V $ 의 기저라면 $ S $ 의 벡터 개수를 $ V $ 의 차원이라 하고, 이를 $ \dim V $ 로 나타낸다. 만약 벡터공간의 차원이 유한하다면 해당 벡터공간을 유한차원 벡터공간(finite dimensional vector space)이라 하고, 유한하지 않다만 무한차원 벡터공간(infinite dimensional vector space)이라 한다. 참고로 $ V $ 가 영텍터공간 $ \{ \mathbf{0} \} $ 이라면 $ \emptyset $ 을 기저로 생각하여 $ \dim V = 0 $ 로 한다.

$ V $ 가 $ n $ 차원 벡터공간일 때 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} \subset V $ 에 대하여, $ \left< S \right> = V $ 이면 $ S $ 는 $ V $ 의 기저이고, $ S $ 가 일차독립이면 $ S $ 는 $ V $ 의 기저이다. 따라서 $ S $ 가 일차독립이면 $ V $ 의 기저가 존재한다 말할 수 있다.

$ S $ 가 일차독립이면 $ S $ 가 $ V $ 의 기저인 것에 대한 증명은 다음과 같다.

$ V $ 가 $ n $ 차원 벡터공간이므로 임의의 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n}, \mathbf{x} \} $ 는 원소 개수가 $ n $ 이상이므로 일차종속이다.

따라서 $ k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots+ k_n \mathbf{x_n} + k_{n+1} \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 이면 일차종속이므로 $ k_i (i = 1, 2, \dots, n+1 ) $ 중 적어도 하나는 $ 0 $ 이 아니어야 한다.

따라서 $ \mathbf{x} = c_1 \mathbf{x_1} + c_2 \mathbf{x_2} + \cdots+ c_n \mathbf{x_n} $ $ c_i = \frac{k_i}{k_{n+1}} ( i = 1, 2, \dots, n) $ 이므로 $ \left< S \right> = V $ 이다. 즉 $ S $ 는 $ V $ 의 기저이다.