[Linear Algebra] 행공간(row space)과 열공간(column space)

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행공간과 열공간

 

$ A $ 를 다음과 같은 $ m \times n $ 행렬이라 가정하자.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

이때 $ m $ 개의 벡터 $ \mathbf{r_i} $ $ (i = 1, 2, \cdots, m ) $ 와 $ n $ 개의 벡터 $ \mathbf{c_j} $ $ ( j = 1, 2, \cdots, n) $ 을 다음과 같이 가정하자.

$$ \mathbf{r_1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix} , \quad \mathbf{r_2} = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{bmatrix} , \quad \cdots, \quad \mathbf{r_m} = \begin{bmatrix} a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf{c_1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c_2} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} , \quad \cdots, \quad \mathbf{c_n} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} $$

이 $ \mathbf{r_i} $ 와 $ \mathbf{c_j} $ 를 각각 $  A $ 의 행벡터(row vector)와 열벡터(column vector)라 하고, 이 행벡터들에 의해 생성된 $ \mathbb{R}^n $ 의 부분공간을 $ A $ 의 행공간, 열벡터에 의해 생성된 $ \mathbb{R}^m $ 의 부분공간을 $ A $ 의 열공간이라 한다. 이를 각각 $ \operatorname{Row}(A) $, $ \operatorname{Col}(A) $ 로 나타낸다. 또한 행공간의 차원을 $ A $ 의 행계수(row rank), 열공간의 차원을 $ A $ 의 열계수(column rank)라 하고 각각 $ r(A) $ 와 $ c(A) $ 로 나타낸다.

 

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성질

 

행렬 $ A $ 와 $ B $ 가 행동치라면 $ \operatorname{Row}(A) = \operatorname{Row}(B) $ 이다.

행렬 $ A \in M_{m \times n} $ 에 대하여 $ A $ 의 행계수와 열계수는 같다. 행계수나 열계수를 계수(rank)라 하고, $ \operatorname{rank} (A) $ 로 나타낸다.

$ A $ 가 $ m \times n $ 행렬이라면 $ \operatorname{rank} (A) + \operatorname{nullity}(A) = n $ 이다. 

비동차연립일차방정식 $ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $ 가 해를 가질 필요충분조건은 $ \operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} A \mid B \end{bmatrix} $ 이다. 

 

위 성질들로 인해 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 에 대하여 다음은 동치이다.

• $ \operatorname{rank} (A) = 0 $
• $ \operatorname{nullity} (A) = 0 $
• $ A $ 의 모든 열벡터는 $ \mathbb{R}^n $ 에서 일차독립이고 모든 행벡터도 $ \mathbb{R}^n $ 에서 일차독립이다.
• 동차 연립방정식 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 은 자명한 해만을 갖는다.
• $ \mathbb{R}^n $ 의 원소인 임의의 $ \mathbf{b} $ 에 대하여 연립방정식 $ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $ 는 유일한 해를 갖는다.
• $ A $ 와 $ I_n $ 은 행동치이다.
• $ A $ 는 가역이다.
• $ \det(A) \neq 0 $