[Linear Algebra] 내적공간(inner product space)

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내적공간

 

벡터공간 $ V $ 에 대하여 내적(inner product ro dot product)은 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음을 만족하는 함수 $ \left<, \right>: V \times V \to \mathbb{R} $ 이다.

• $ \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = \left< \mathbf{y} , \mathbf{x} \right> $
• $ \left< \mathbf{x} + \mathbf{y}, \mathbf{w} \right> = \left< \mathbf{x} , \mathbf{w} \right> + \left< \mathbf{y} , \mathbf{w} \right> $
• $ k \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = \left< k \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = \left< \mathbf{x} , k \mathbf{y} \right> $
• $ \left< \mathbf{x} , \mathbf{x} \right> \geq 0, \quad \left< \mathbf{x} , \mathbf{x} \right> = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0} $

일반적으로 정의된 내적 다음의 내적 역시 이에 해당 한다.

$ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n $, $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} $, $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} $, $ \left< \mathbf{x}, \mathbf{y} \right> = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_ n $ 

내적이 정의된 벡터공간을 내적공간이라 한다.

 

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길이와 거리

 

벡터공간 $ V $ 가 내적공간일 때 $ \mathbf{x} \in V $ 의 길이(length) 혹은 노름(norm)을 다음과 같이 정의한다.

$$ \| \mathbf{x} \| = \sqrt{\left< \mathbf{x}, \mathbf{x} \right> } $$

만약 $ \| \mathbf{x} \| = 1 $ 이라면 $ \mathbf{x} $ 를 단위벡터(unit vector)라 한다.

거리함수(metric)는 다음과 같이 정의한다.

$ d : V \times V \to \mathbb{R} $, $ d(\mathbf{x}, \mathbf{y} ) = \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| $

이때 $ d(\mathbf{x}, \mathbf{y} ) $ 를 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 의 거리(distance)라 한다.

$ V $ 가 내적공간일 때, $ \mathbf{x} , \mathbf{y} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \| k \mathbf{x} \| = | k | \| \mathbf{x} \| $$

$ | \left< \mathbf{x}, \mathbf{y} \right> | \leq \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| $ (코시-슈바르츠 부등식)

$ \| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \| $ (삼각부등식)

 

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직교

 

영벡터가 아닌 두 벡터의 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있을 것이다.

$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| \cos \theta $$

이를 변형하여 각에 대해 나타내면 다음과 같다.

$$ \cos \theta = \dfrac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \|} $$

이때 내적을 일반화하여 영벡터가 아닌 두 벡터 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 의 각 $ \theta $ 를 다음과 같이 정의한다.

$$ \cos \theta = \dfrac{\left< \mathbf{x}, \mathbf{y} \right> }{\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \|} $$

이때 $ \left< \mathbf{x}. \mathbf{y} \right> = 0 $ 일 때 $ \mathbf{x} $ 와 $ \mathbf{y} $ 가 직교(orthogonal)한다고 한다. 또한 직교한다면 다음이 성립한다.

$$ \| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| ^2 = \| \mathbf{x} \|^2 + \| \mathbf{y} \|^2 $$