[Linear Algebra] 좌표벡터(coordinates vector)와 전이행렬(transition matrix)

---

좌표벡터 (Coordinates Vector)

 

$ \mathbb{R}^n $ 의 어떤 점 $ P = \{ x_2, x_2, \cdots, x_n \} $ 에 대한 벡터 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{OP} $ 는 표준기저 $ S = \{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \cdots, \mathbf{e_n} \} $ 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있고 이는 유일하다.

$$ \mathbf{x} = x_1 \mathbf{e_1} + x_2 \mathbf{e_2} + \cdots + x_n \mathbf{e_n} $$

이때 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 은 점 $ P $ 의 좌표이므로 벡터 $ \mathbf{x} = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \} $ 는 표준기저 $ S $ 에 대한 좌표로 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 을 갖는 것으로 생각할 수 있다.

이를 확장하여 어떤 벡터공간에 대한 좌표를 생각해볼 수 있다.

$ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 가 존재하고, $ S  = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 을 $ V $ 의 순서기저(ordered basis)라 하면 $ V $ 의 벡터 $ \mathbf{x} $ 는 $ \mathbf{x} = k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_n \mathbf{x_n} $ $ ( k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{R}) $ 으로 나타낼 수 있다. 이때 $ k _1, k_2, \cdots, k_n $ 을 순서기저 $ S $ 에 대한 벡터 $ \mathbf{x} $ 의 좌표(coordinates)라고 하며, 이로 이루어진 $ \mathbb{R}^n $ 의 다음 벡터를 기저 $ S $ 에 대한 $ \mathbf{x} $ 의 좌표벡터(coordinates vector)라 하고, $ \left[ \mathbf{x} \right] _S $ 로 나타낸다. 

$$ \left[ \mathbf{x} \right] _S = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix} $$

이렇게 $ \left[ \mathbf{x} \right] _S $ 인 $ V $ 의 벡터 $ \mathbf{x} $ 가 정해진다면 이는 유일하다. 그러므로 좌표벡터는 어떤 기저를 선택하는가에 따라 달라지고, 기저의 벡터 순서가 바뀌면 좌표벡터 역시 달라진다.

나아가 $ \mathbf{x} , \mathbf{y} \in V $, $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ \left[ \mathbf{x} + \mathbf{y} \right]_S = \left[ \mathbf{x} \right]_S + \left[ \mathbf{y} \right]_S $ 이고, $ \left[ k \mathbf{x} \right]_S = k \left[ \mathbf{x} \right]_S $ 이다.

더 나아가 일반적으로는 집합 $ S $ 가 $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 기저이면 벡터 $ \mathbf{v_i} \in V $, $ k_i \in \mathbb{R} $, $ ( i = 1, 2, \dots, n ) $ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \left[ k_1 \mathbf{v_1} + k_2 \mathbf{v_2} + \cdots + k_n \mathbf{v_n} \right]_S = k_1 \left[ \mathbf{v_1} \right]_S + k_2 \left[ \mathbf{v_2} \right]_S + \cdots + k_n \left[ \mathbf{v_n} \right]_S $$

활용하면 집합 $ B $ 가 $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 기저이고 $ S $ 와 $ R $ 이 다음과 같다 가정하자.

$ S = \{ \mathbf{v_1} , \mathbf{v_2} ,\cdots, \mathbf{v_n} \} \subset V $, $ R = \{ \left[ \mathbf{v_1} \right]_B , \left[ \mathbf{v_2} \right]_B , \cdots, \left[ \mathbf{v_n} \right]_B \} \subset \mathbb{R}^n $

그렇다면 $ S $ 가 $ V $ 의 기저일 필요충분조건은 $ R $ 이 $ \mathbb{R}^n $ 의 기저이다.

 

---

전이행렬 (Transition Matrix)

 

두 집합 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 와 $ R = \{ \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \cdots, \mathbf{y_n} \} $ 을 $n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 서로 다른 기저라 할 때 $ \mathbf{x} \in V $, $ k_i \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ \mathbf{x} = \sum^n_{i=1} k_i \mathbf{y_i} $ 하면 $ R $ 에 대한 $ \mathbf{x} \in V $ 의 좌표벡터 $ \left[ \mathbf{x} \right] _R = \{ k_1, k_2, \cdots, k_n \} $ 이고, $ S $ 에 대한 $ \mathbf{x} \in V $ 의 좌표벡터는 다음과 같다.

$$ \left[ \mathbf{x} \right] _S = \left[ k_1 \mathbf{y_1} + k_2 \mathbf{y_2} + \cdots + k_n \mathbf{y_n} \right] _S = k_1 \left[ \mathbf{y_1} \right]_S + k_2 \left[ \mathbf{y_2} \right]_S + \cdots + k_n \left[ \mathbf{y_n} \right]_S $$

여기서 $ S $ 에 대한 $ \mathbf{y_i} $ 의 좌표벡터를 $ \left[ \mathbf{y_i} \right]_S = \{ p_{1i}, p_{2i}, \cdots, p_{ni} \} $ 라 하면 다음과 같은 행렬 $ P $ 를 나타낼 수 있다.

$$ P = \begin{bmatrix} \left[ \mathbf{y_1} \right]_S & \left[ \mathbf{y_2} \right]_S & \cdots & \left[ \mathbf{y_n} \right]_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} $$

이때 좌표벡터 $ \left[ \mathbf{x} \right]_S $ 는 다음과 같다.

$ \left[ \mathbf{x} \right]_S =$ $ k_1 \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ \vdots \\ p_{n1} \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ \vdots \\ p_{n2} \end{bmatrix} + \cdots + k_n \begin{bmatrix} p_{1n} \\ p_{2n} \\ \vdots \\ p_{nn} \end{bmatrix} =$ $ \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix} =$ $ P \left[ \mathbf{x} \right]_R $

행렬 $ P $ 는 $ \left[ \mathbf{x} \right]_R $ 을 $ \left[ \mathbf{x} \right]_S $ 로 바꾸는 역할을 하는데, 이때 행렬 $ P $ 를 기저 $ R $ 에서 기저 $ S $ 로의 전이행렬이라 하고 $ P = \left[ I \right] _{R, S} $ 로 나타낸다.

이때 $ P $ 는 가역이고, $ P^{-1} $ 은 $ S $ 에서 $ R $ 로의 전이행렬이다. 즉 $ P^{-1} = \left[ I \right] _{S, R} $ 이다.