[Linear Algebra] 영공간(null space)와 영공간의 차원(nullity)

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$ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해공간

 

$ A $ 를 $ m \times n $ 행렬이라 할 때 $ A \mathbf{x} = 0 $ 이 동차연립일차방정식이라 가정하자.

이 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 확대행렬의 기약 행 사다리꼴이 있을 때 기약 행 사다리꼴은 첫 행부터 $ r $ 개의 영이 아닌 행을 갖는다 하자.

이때 확대행렬은 $ \left[ \begin{array}{c:c} A & 0 \end{array} \right] $, 기약행사다리꼴은 $ \left[ \begin{array}{c:c} B & 0 \end{array} \right] $ 으로 나타낸다.

$ r = n $ 이면 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해는 $ \mathbf{x} = 0 $ 이므로 해공간의 차원은 $ 0 $ 이다.

$ r < n $ 이면 기약 행 사다리꼴은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \left[ \begin{array}{c:c} B & 0 \end{array} \right] = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccccc:ccc:c} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & b_{1r+1} & \cdots & b_{1n} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{2r+1} & \cdots & b_{2n} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{rr+1} & \cdots & b_{rn} & 0 \\ \\ \hdashline \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix} $$

따라서 동차연립일차방정식 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 은 다음과 동치이다.

$$ x_1 = b_{1r+1} - b_{1r+2} x_{r+2} - \cdots - b_{1n} x_{n} \\ x_2 = b_{2r+1} - b_{2r+2} x_{r+2} - \cdots - b_{2n} x_{n} \\ \vdots \\ x_r = b_{rr+1} - b_{rr+2} x_{r+2} - \cdots - b_{rn} x_{n} $$

따라서 $ k_1 = x_{r+1}, k_2 = x_{r+1} , \cdots , k_{n-r} = x_n $ 이라 하면 일반해는 다음과 같다.

$$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \\ x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ x_{r+3} \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = k_1 \begin{bmatrix} -b_{1r+1} \\ -b_{2r+1} \\ \vdots \\ -b_{rr+1} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} -b_{1r+2} \\ -b_{2r+2} \\ \vdots \\ -b_{rr+2} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \cdots + k_{n-r} \begin{bmatrix} -b_{1n} \\ -b_{2n} \\ \vdots \\ -b_{rn} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \quad (k_1, k_2, \cdots , k_{n-r} \in \mathbb{R}) $$

따라서 아래와 같이 둘 수 있다.

$$ \mathbf{x_1} = \begin{bmatrix} -b_{1r+1} \\ -b_{2r+1} \\ \vdots \\ -b_{rr+1} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x_2} = \begin{bmatrix} -b_{1r+2} \\ -b_{2r+2} \\ \vdots \\ -b_{rr+2} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \cdots , \quad \mathbf{x_{n-r}} = \begin{bmatrix} -b_{1n} \\ -b_{2n} \\ \vdots \\ -b_{rn} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} $$

그러므로 $ S = \{ \mathbf{x_1} , \mathbf{x_2} , \cdots , \mathbf{x_{n-r}} \} $ 은 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해공간을 생성하고 일차독립이다. 즉 $ S $ 는 해공간의 기저이고 차원은 $ n - r $ 이다.

 

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영공간과 영공간의 차원

 

$ A $ 를 $ m \times n $ 행렬이라 할 때 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 행공간을 $ A $ 의 영공간(null space)이라 한다.

영공간의 차원을 $ \operatorname{nullity} $ 라 하고 $ \operatorname{nullity}(A) $ 로 나타낸다.