[Linear Algebra] 일차독립(linearly independent)과 일차종속(linearly dependent)

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생성집합 (Spanning Set)

 

$ V $ 가 벡터공간이고 $ V $ 의 원소인 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \cdots $, $\mathbf{x_m} $ 에 대하여 $ k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2}+ \cdots + k_m \mathbf{x_m} (k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{R}) $ 를, 즉 각 벡터에 실수를 곱한 것을 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \cdots $, $\mathbf{x_m} $의 일차결합(linear combination)이라 한다. 이를 활용하여 어떤 벡터를 어떤 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수도 있다. 

특히 $ V $ 가 벡터공간일 때 $ S = \{ \mathbf{x_1} , \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_m} \} \subset V $ 에 대하여 $ W = \{ k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_m \mathbf{x_m} \mid k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{R} \} $ 는 $ V $ 의 부분공간이다. 즉 어떤 벡터공간의 원소들로 일차결합을 나타낼 수 잇다면 그 일차결합은 벡터공간의 부분공간이다.

$ \mathbf{x} = k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_m \mathbf{x_m} , \mathbf{y} = h_1 \mathbf{x_1} + h_2 \mathbf{x_2} + \cdots + h_m \mathbf{x_m} \in W $ 이고 $ k_i , h_i \in \mathbb{R} $ 이라면

$ i = 1, 2, \cdots, m $, $ \alpha \in \mathbb{R} $ 에 대하여

$ \mathbf{x} + \mathbf{y} = (k_1 + h_1) \mathbf{x_1} + \cdots + (k_m + h_m) \mathbf{x_m} $

$ \alpha \mathbf{x} = (\alpha k_1) \mathbf{x_1} + \cdots + (\alpha k_m) \mathbf{x_m} $ 이고 $ k_i + h_i \in \mathbb{R} $, $ \alpha k_i \in \mathbb{R} $ 이므로 $ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in W $, \alpha \mathbf{x} \in W $ 이다.

따라서 $ W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.

이때 $ W $ 를 $ S $ 에 의해 생성된(spanned) $ V $ 의 부분공간이라 한다. $ S $ 는 $ W $ 를 생성(span)한다고 하며, $ S $ 를 생성집합(sapnning set)이라 한다. 이는 다음과 같이 나타낸다.

$ W = \operatorname{span} (S) $      또는      $ W = \left< S \right> $

만약 $ V $ 에 속한 모든 벡터가 $ S $ 에 속한 벡터들의 일차결합이라면 $ V = \left< S \right> $ 이다. 이 경우로는 $ S $ 에 속한 벡터가 기본단위벡터인 경우가 있다. 즉 기본단위벡터들이 생성한 집합은 해당 차원의 벡터공간과 같다.

 

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일차독립 및 일차종속

 

벡터공간 $ V $ 의 원소 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \cdots $, $\mathbf{x_m} $ 에 대한 일차결합이 영벡터일 때, 즉 $ k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_m \mathbf{x_m} = \mathbf{0} $ 일 때, $ k_1, k_2, \cdots, k_m $ 중 적어도 하나가 $ 0 $ 이 아니라면 $ \mathbf{x_1} + \mathbf{x_2} + \cdots + \mathbf{x_m} $ 을 일차종속이라 하고, 모두 $ 0 $ 이라면 일차독립이라 한다.

기본단위벡터에 대해서는 일차독립이다. 기본단위벡터의 일차결합은 $ k_i $ 로 이루어진 벡터가 나올 수 밖에 없고, 이를 영벡터로 만들기 위해서는 $ k_i $ 가 모두 $ 0 $ 이어야 하기 때문이다.

더하여 벡터공간 $ V $ 의 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \mathbf{x_3} $ 가 일차독립이라면 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_1} + \mathbf{x_2} $, $ \mathbf{x_1} + \mathbf{x_2} + \mathbf{x_3} $ 도 일차독립이다.

어떤 벡터들이 일차독립인지 아닌지 알아보기 위해서는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다. $ \mathbb{R}^n $ 에 속하는 $ n $ 개의 벡터 $ \mathbf{x_1} = \{x_{11}, x_{12} , \dots , x_{1n} \} $, $ \mathbf{x_2} = \{ x_{21} , x_{22}, \dots, x_{2n} \} $, $ \cdots $, $ \mathbf{x_n} = \{ x_{n1} , x_{n2}, \dots, x_{nn} \} $ 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ A = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{n1} \\ x_{12} & x_{22} & \cdots & x_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1n} & x_{2n} & \cdots & x_{nn} \end{bmatrix} $$

이때 $ \mathbf{x_1} $, $ \mathbf{x_2} $, $ \cdots $, $ \mathbf{x_n} $ 이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $ | A | \neq 0 $ 이다. 즉 벡터들을 이용하여 정사각행렬을 만들고, 그 정사각행렬의 행렬식이 $ 0 $ 인지 확인한다면 일차독립인지 아닌지 알 수 있다.

따라서 이를 이용하여 다음을 알아낼 수 있다. $ S $ 가 일차종속일 필요충분조건은 $ S $ 의 한 벡터가 나머지 벡터의 일차결합으로 나타나는 것이다. 또 $ S $ 가 영벡터를 포함하고 있다면 $ S $ 는 일차종속이다. $ S^\prime \subset S $ 에 대하여 $ S^\prime $ 이 일차종속이면 $ S $ 도 일차종속이고, $ S $ 가 일차독립이면 $ S^\prime $ 도 일차독립이다.

한편 $ m > n $ 일 때 $ \mathbb{R}^n $ 에 속하는 $ m $ 개의 벡터들은 일차종속이다.