선형대수학

[Linear Algebra] 여인수 전개(cofactor expansion)와 수반행렬(adjoint matrix)
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Mathematics/Linear Algebra
여인수 (Cofactor) n 차 정사각행렬 A=[aij]i 행과 j 열을 제거하여 만든 부분행렬을 Mij, 소행렬(minor matrix)이라 하고, |Mij|aij 의 소행렬식(minor determinant)이라 하며, Aij=(1)i+j|Mij|aij 의 여인수라 한다.다음 행렬 A 를 가정하자.A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]행렬 A 를 통해 ..
[Linear Algebra] 순열(permutation)과 행렬식(determinant)의 정의 및 계산
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Mathematics/Linear Algebra
순열 (Permutation) 자연수의 집합 S={1,2,,n} (n2) 에서 S 로의 전단사 함수 σ 를 순열 혹은 치환이라 하며 다음과 같이 나타낸다.σ=(12kni1i2ikin)또한 이를 다음과 같이 나타낸다.(i1i2in)즉 다음과 같다.$$ \sigma(1) = i_1, \cdots , \sigma(k) = i_k , \cdots , \sigma(..
[Linear Algebra] 행렬의 LDU 분해
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Mathematics/Linear Algebra
삼각행렬의 성질 삼각행렬은 하삼삭행렬(lower triangular matrix)와 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 나뉜다.어떤 두 행렬이 하삼각행렬이고 서로 행렬곱 연산이 가능할 때 두 행렬의 곱은 하삼각행렬이다. 또한 만약 하삼각행렬인 행렬이 가역행렬이라면 이 행렬의 역행렬은 하삼각행렬이다. 당연하게도 하삼각행렬과 하삼각행렬을 더하면 하삼각행렬이 나온다. 상삼각행렬 역시 같은 성질을 지닌다. 즉 각 삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀있다. LU 분해 단위행렬에 기본 행 연산을 했을 때 나오는 기본행렬은 단위행렬, 상삼각행렬, 하삼각행렬, 혹은 치환행렬이다. 치환행렬(permutation matrix)은 단위행렬에서 행을 교환하여 얻은 행렬이다.가우스-요르단 소거법으로..
[Linear Algebra] 행렬과 연립일차방정식의 해
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Mathematics/Linear Algebra
유일한 해 연립일차방정식을 AX=B 꼴로 나타낼 때, 만약 An 차 정사각행렬이면서 가역행렬이고, Bn×1 행렬이라면 이 연립일차방정식은 유일한 해 X=A1B 를 갖는다. 증명은 다음과 같다.n 차 정사각행렬을 A 는 가역행렬이므로 A1 이 존재한다. 연립일차방정식 AX=B 양변에 A1 을 곱하면 A1(AX)=A1B 이다. 이는 (A1A)X=A1B 이고, InX=A1B 이며, X=A1B 이다. A 의 역행렬은 유일하므로 X=A1B 는 유일한 해이다. 동차연립일차..
[Linear Algebra] 역행렬 계산과 기본행렬
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Mathematics/Linear Algebra
역행렬 (Inverse Matrix) 실수 영역에서 어떤 수에 곱했을 때 결과값을 1 로 만드는 역수가 있다면, 행렬에서는 곱했을 때 결과 행렬을 단위행렬로 만드는 행렬이 있고, 이 행렬을 역행렬이라 한다. 즉 어떤 n 차 정사각행렬 A 가 있을 때 아래를 만족하는 행렬 B 를 역행렬이라 하며, A1 로 나타낸다.AB=In=BA,B=A1이렇게 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix) 혹은 가역행렬(invertible matrix)이라 한다. 역행렬이 존재하지 않을 수 있는데, 이 경우는 특이행렬(singular matrix) 혹은 비가격행렬(noninvertible matrix)이라 한다. 실수 ..
[Linear Algebra] 가우스-요르단(Gauss-Jordan) 소거법
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Mathematics/Linear Algebra
기본 행 연산과 행동치 연립 방정식 풀이연립 일차방정식을 풀 때 각 방정식끼리의 연산을 통해 풀기 쉬운 방정식으로 변환하여 풀이하는 것이 일반적이다. 예를 들어 아래와 같은 연립 일차방정식이 있다고 가정하자.{3x+6x2=15(1)x+7x2=4(2)이 연립 방정식을 아래와 같이 풀 수 있을 것이다.(2)×3{3x+6x2=15(1)3x+21x2=12(2)(1)+(2)$$ \begin{cases} 3x + 6x_2 = 15 & \cdots (1)..
[Linear Algebra] 행렬의 분할과 연립 일차방정식
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Mathematics/Linear Algebra
행렬의 분할 하나의 행렬을 가로선과 세로선을 이용해서 몇 개의 블록으로 분할 가능하다. 이렇게 분할된 블록들을 행렬로 나타낼 수 있고, 이 행렬들을 원래 행렬의 부분행렬(submatrix)이라 한다. 또한 부분행렬의 성분으로 나타낸 원래 행렬을 블록행렬(block Matrix)라 한다.예를 들어 아래와 같은 행렬이 있다고 가정하자.A=[4270052195022637]위 행렬을 임의로 분할해 아래와 같이 만들 수 있다.$$ A = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 1 ..
[Linear Algebra] 행렬(matrix)과 행렬 연산 및 여러 행렬
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Mathematics/Linear Algebra
행렬 (Matrix) 일반적으로 수들을 직사각형 형태로 배열한 것을 말한다. 이때, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 한다. 이때 내부에는 수 뿐 아니라 식 등 다양한 것들이 들어갈 수 있는데 이를 원소(element) 혹은 성분(entry)이라 한다. 아래와 같은 행렬은 가로줄이 세 개이므로 행이 세 개, 세로줄이 두 개 이므로 행이 두 개인 행렬이다. 즉 크기가 3×2 인 행렬이다. 또한 크기가 3×2 이기 때문에 성분의 개수는 6 개이다.A=[a11a12a21a22a31a32]행렬은 또 다르게 $ A = \begin{bmatrix} a_{..
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