선형대수학

여인수 (Cofactor) $ n $ 차 정사각행렬 $ A = \left[ a_{ij} \right] $ 의 $ i $ 행과 $ j $ 열을 제거하여 만든 부분행렬을 $ M_{ij} $, 소행렬(minor matrix)이라 하고, $ | M_{ij} | $ 를 $ a_{ij} $ 의 소행렬식(minor determinant)이라 하며, $ A_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}| $ 를 $ a_{ij} $ 의 여인수라 한다.다음 행렬 $ A $ 를 가정하자.$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$행렬 $ A $ 를 통해 ..

순열 (Permutation) 자연수의 집합 $ S = \{ 1, 2, \cdots, n \} $ $ (n \geq 2) $ 에서 $ S $ 로의 전단사 함수 $ \sigma $ 를 순열 혹은 치환이라 하며 다음과 같이 나타낸다.$$ \sigma =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & k & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_k & \cdots & i_n \end{pmatrix} $$또한 이를 다음과 같이 나타낸다.$$ \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix} $$즉 다음과 같다.$$ \sigma(1) = i_1, \cdots , \sigma(k) = i_k , \cdots , \sigma(..

삼각행렬의 성질 삼각행렬은 하삼삭행렬(lower triangular matrix)와 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 나뉜다.어떤 두 행렬이 하삼각행렬이고 서로 행렬곱 연산이 가능할 때 두 행렬의 곱은 하삼각행렬이다. 또한 만약 하삼각행렬인 행렬이 가역행렬이라면 이 행렬의 역행렬은 하삼각행렬이다. 당연하게도 하삼각행렬과 하삼각행렬을 더하면 하삼각행렬이 나온다. 상삼각행렬 역시 같은 성질을 지닌다. 즉 각 삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀있다. LU 분해 단위행렬에 기본 행 연산을 했을 때 나오는 기본행렬은 단위행렬, 상삼각행렬, 하삼각행렬, 혹은 치환행렬이다. 치환행렬(permutation matrix)은 단위행렬에서 행을 교환하여 얻은 행렬이다.가우스-요르단 소거법으로..

유일한 해 연립일차방정식을 $ AX = B $ 꼴로 나타낼 때, 만약 $ A $ 가 $ n $ 차 정사각행렬이면서 가역행렬이고, $ B $ 가 $ n \times 1 $ 행렬이라면 이 연립일차방정식은 유일한 해 $ X = A^{-1}B $ 를 갖는다. 증명은 다음과 같다.$ n $ 차 정사각행렬을 $ A $ 는 가역행렬이므로 $ A^{-1} $ 이 존재한다. 연립일차방정식 $ AX = B $ 양변에 $ A^{-1} $ 을 곱하면 $ A^{-1}(AX) = A^{-1}B $ 이다. 이는 $(A^{-1}A)X = A^{-1}B $ 이고, $ I_n X = A^{-1}B $ 이며, $ X = A^{-1}B $ 이다. $ A $ 의 역행렬은 유일하므로 $ X = A^{-1}B $ 는 유일한 해이다. 동차연립일차..

역행렬 (Inverse Matrix) 실수 영역에서 어떤 수에 곱했을 때 결과값을 1 로 만드는 역수가 있다면, 행렬에서는 곱했을 때 결과 행렬을 단위행렬로 만드는 행렬이 있고, 이 행렬을 역행렬이라 한다. 즉 어떤 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 가 있을 때 아래를 만족하는 행렬 $ B $ 를 역행렬이라 하며, $ A^{-1} $ 로 나타낸다.$$ AB = I_n = BA , \quad B = A^{-1} $$이렇게 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix) 혹은 가역행렬(invertible matrix)이라 한다. 역행렬이 존재하지 않을 수 있는데, 이 경우는 특이행렬(singular matrix) 혹은 비가격행렬(noninvertible matrix)이라 한다. 실수 ..

기본 행 연산과 행동치 연립 방정식 풀이연립 일차방정식을 풀 때 각 방정식끼리의 연산을 통해 풀기 쉬운 방정식으로 변환하여 풀이하는 것이 일반적이다. 예를 들어 아래와 같은 연립 일차방정식이 있다고 가정하자.$$ \begin{cases} 3x +  6x_2= 15 & \cdots (1) \\ -x + 7x_2 = 4 & \cdots (2) \end{cases} $$이 연립 방정식을 아래와 같이 풀 수 있을 것이다.$ (2) \times 3 $$$ \begin{cases} 3x + 6x_2 = 15 & \cdots (1) \\ -3x + 21x_2 = 12 & \cdots (2) \end{cases} $$$ (1) + (2) $$$ \begin{cases} 3x + 6x_2 = 15 & \cdots (1)..

행렬의 분할 하나의 행렬을 가로선과 세로선을 이용해서 몇 개의 블록으로 분할 가능하다. 이렇게 분할된 블록들을 행렬로 나타낼 수 있고, 이 행렬들을 원래 행렬의 부분행렬(submatrix)이라 한다. 또한 부분행렬의 성분으로 나타낸 원래 행렬을 블록행렬(block Matrix)라 한다.예를 들어 아래와 같은 행렬이 있다고 가정하자.$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5  & 2 & 1 \\ 9 & 5  & 0 & 2 \\ 2 & 6  & 3 & 7 \end{bmatrix}  $$위 행렬을 임의로 분할해 아래와 같이 만들 수 있다.$$ A = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 1 ..

행렬 (Matrix) 일반적으로 수들을 직사각형 형태로 배열한 것을 말한다. 이때, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 한다. 이때 내부에는 수 뿐 아니라 식 등 다양한 것들이 들어갈 수 있는데 이를 원소(element) 혹은 성분(entry)이라 한다. 아래와 같은 행렬은 가로줄이 세 개이므로 행이 세 개, 세로줄이 두 개 이므로 행이 두 개인 행렬이다. 즉 크기가 $ 3 \times 2 $ 인 행렬이다. 또한 크기가 $ 3 \times 2 $ 이기 때문에 성분의 개수는 6 개이다.$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} $$행렬은 또 다르게 $ A = \begin{bmatrix} a_{..