선형대수학

직교행렬 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 에 대하여 $ A^T A = I_n $ 이면 $ A $ 를 직교행렬이라 한다. 또한 이는 $ A^T = A^{-1} $ 이면 $ A $ 는 직교행렬이다와 동치이고, $ A $ 의 열(행)벡터들은 정규직교집합이다와 동치이다.$ A $ 의 열(행)벡터들이 정규직교집합인 이유는 $ A^T A = I = A A^T $ 이기 때문이다.$ A $ 가 직교행렬이면 $ A^T A = I $ 이고, $ | A | = | A^T | $ 이므로 $ 1 = | I | = | A^T A | = | A^T | | A | = | A | ^2 $ 이므로 $ | A | = \pm 1 $ 이다. 즉 $ A $ 가 직교행렬이면 $ | A | = 1 $ 또는 $ -1 $ 이다. 직교 대각화 정사..

행렬 대각화 정사각행렬 $ A $ 와 어떤 가역행렬 $ P $ 에 대하여 $ P^{-1}AP $ 가 대각행렬이 된다면 $ A $ 를 대각화 가능한 행렬(diagonalizalble matrix)이라 하고, $ P $ 는 $ A $ 를 대각화하는 행렬이라 한다.만약 $ A $ 가 대각행렬이라면 $ P $ 를  $ I $ 로 둠으로써 대각화 가능하다.이러한 대각화가 가능할 필요충분조건은 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 가 $ n $ 개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이다. 이때 $ A $ 는 고윳값 $ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n $ 을 주대각성분으로 갖는 대각행렬 $ D $ 와 닮은 행렬이다.더보기$ A $ 개 대각화 가능한 $ n $ 차 정사각행렬이라할 때 ..

고윳값과 고유벡터 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 와 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 및 $ \lambda \in \mathbb{R} $ 에 대해 다음이 성립하면 $ \lambda $ 를 $ A $ 의 교윳값이라 하고, $ \mathbf{x} $ 를 $ \lambda $ 에 대응하는 고유벡터라 한다.$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$즉 행렬과의 곱이 실수와의 곱과 동일할 때 고윳값과 고유벡터를 말할 수 있다.$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 $ I_n \mathbf{x} = 1 \times \mathbf{x} $ 이므로 단위행렬 $ I_n $ 의 고윳값은 $ \lambda = 1$ 뿐이고, 영벡터가 아닌 $..

행렬표현 일반적으로 $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 에서 $ m $ 차원 벡터공간 $ W $ 의 선형변환을 행렬변환으로 나타낼 수 있고, 이는 좌표벡터를 통해 확인해볼 수 있다.$ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 순서 기저를 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 이라 하고, $ m $ 차원 벡터공간 $ W $ 의 순서 기저를 $ R = \{ \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \cdots, \mathbf{y_m} \} $ 이라 하며, $ T: V \to W $ 를 선형변환이라 하자. $ \mathbf{x_i} \in S $ $(i = 1, 2, \cdots, n) $ 에 대하여 $ T(\mathbf{x_i})..

표준행렬 (Standard Matrix) 선형변환에 대해 이야기하면서 행렬을 이용한 선형변환을 행렬변환(링크)이라 하였다. 다시 정리해보자면 행렬 $ A_{m \times n} $ 과 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 $ T (\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $ 로 $ T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 을 정의한다면 $ T $ 는 선형변환이다.일반적으로 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 이 선형변환이라면 표준기저 $ \{ \mathbf{e_1} , \mathbf{e_2} , \cdots, \mathbf{e_n} \} $ 에 대하여 다음과 같다고 할 수 있다.$ T(\mathbf{e_1}) = ..

선형변환 벡터공간 $ V $ 의 각 벡터 $ \mathbf{v} $ 를 벡터공간 $ W $ 의 벡터 $ \mathbf{w} $ 에 대응시키는 함수를 $ T $ 라 하면 이를 다음과 같이 나타낸다.$$ T : V \to W $$이때 $ \mathbf{w} $ 를 $ T $ 에 의한 $ \mathbf{v} $ 의 상(image)이라 하고 $ \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) $ 로 나타낸다. 그리고 $ V $ 를 $ T $ 의 정의역(domain)이라 한다.만약 이 $ T $ 가 다음 조건을 만족하면 $ T $ 를 선형변환이라 한다.모든 $ \mathbf{v_1} , \mathbf{v_2} \in V $ 에 대하여 $ T(\mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}) = T(\mathbf..

곡선적합 특정 실험을 통해 측정값을 얻었다면 이를 설명하는 함수를 구할 수 있다. 즉 $ (x_0, y_0) $, $(x_1, y_1) $, $ \cdots $, $(x_n, y_n) $ 과 같은 자료가 주어졌을 때 이 모든 점을 지나면서 이를 대표하는 곡선, 혹은 함수식 $ y = f(x) $ 을 찾을 수 있는데, 이를 곡선적합이라 한다.$$ y = f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^{n-1} $$위와 같은 $ n $ 차 다항식에 대하여 점 $ (x_i, y_i ) $ 가 곡선 $ y = f(x) $ 위에 있다 가정하면, $ f(x_i) = y_i $ 이다. 이를 $ n + 1 $ 개의 미지수 $ a_0, a_1, \cdots, a_n $ 를 가진 선형방..

정규직교집합 내적공간의 원소 $ \mathbf{x} $ 와 $\mathbf{y} $ 에 대하여 $ \left = 0 $ 일 때 두 벡터가 직교한다고 정의하였다. 만약 $ V $ 가 내적공간일 때 $ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \in V $ 에 대하여 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 을 가정하자. 이때 $ S $ 의 서로 다른 두 벡터가 모두 직교한다면 $ S $ 를 직교집합(orthogonal set)이라 한다. 또한 직교집합 $ S $ 의 벡터가 모두 단위벡터이면 $ S $ 를 정규직교집합이라 한다.즉 다음이 정의된다.$ S \text{ } \text{ is or..

내적공간 벡터공간 $ V $ 에 대하여 내적(inner product ro dot product)은 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음을 만족하는 함수 $ \left: V \times V \to \mathbb{R} $ 이다.$ \left = \left $$ \left = \left + \left $$ k \left = \left = \left $$ \left \geq 0, \quad \left = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0} $일반적으로 정의된 내적 다음의 내적 역시 이에 해당 한다.$ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n $, $ \mathbf..

좌표벡터 (Coordinates Vector) $ \mathbb{R}^n $ 의 어떤 점 $ P = \{ x_2, x_2, \cdots, x_n \} $ 에 대한 벡터 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{OP} $ 는 표준기저 $ S = \{ \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \cdots, \mathbf{e_n} \} $ 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있고 이는 유일하다.$$ \mathbf{x} = x_1 \mathbf{e_1} + x_2 \mathbf{e_2} + \cdots + x_n \mathbf{e_n} $$이때 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 은 점 $ P $ 의 좌표이므로 벡터 $ \mathbf{x} = \{ x_1, x_2, \cdots..