[Linear Algebra] 선형변환의 행렬표현(matrix reprentation)과 닮은 행렬(similar matrix)

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행렬표현

 

일반적으로 $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 에서 $ m $ 차원 벡터공간 $ W $ 의 선형변환을 행렬변환으로 나타낼 수 있고, 이는 좌표벡터를 통해 확인해볼 수 있다.

$ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 순서 기저를 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 이라 하고, $ m $ 차원 벡터공간 $ W $ 의 순서 기저를 $ R = \{ \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \cdots, \mathbf{y_m} \} $ 이라 하며, $ T: V \to W $ 를 선형변환이라 하자. $ \mathbf{x_i} \in S $ $(i = 1, 2, \cdots, n) $ 에 대하여 $ T(\mathbf{x_i}) $ 는 $ W $ 의 벡터이고 $ R $ 은 $ W $ 의 기저이므로 $ T(\mathbf{x_i} ) $ 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ T(\mathbf{x_i}) = a_{1i} \mathbf{y_1} + a_{2i} \mathbf{y_2} + \cdots + a_{mi} \mathbf{y_m} $$

그렇다면 $ R $ 에 대한 $ T(\mathbf{x_i}) $ 에 대한 좌표벡터는 다음과 같다.

$$ \left[ T( \mathbf{x_i}) \right] _R = \begin{bmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{bmatrix} $$

이 좌표벡터들 $ \left[ T( \mathbf{x_1}) \right] _R, \left[ T( \mathbf{x_2}) \right] _R, \cdots, \left[ T( \mathbf{x_n}) \right] _R $ 을 열벡터로 가지는 행렬 $ A_{m \times n} $ 을 가정하면 $A $ 는 다음과 같다.

$$ A = \begin{bmatrix} \left[ T( \mathbf{x_1}) \right] _R & \left[ T( \mathbf{x_2}) \right] _R & \cdots & \left[ T( \mathbf{x_n}) \right] _R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

이떄 행렬 $ A $ 를 기저 $ S $ 와 $ R $ 에 대한 $ T $ 의 행렬표현(혹은 간략히 행렬)이라 하고 다음과 같이 나타낸다. 이때 $ S $ 와 $ R $ 의 순서가 중요하니 유의해야 한다.

$$ A = \left[ T \right] _{S, R} $$

$ V = W $ 라면 선형변환 $T $ 가 $ T : V \to V $ 인 것이고, 이때 기저 $S = R $ 로 하여 위 과정을 통해 행렬 $A $ 를 얻는다면 이 행렬 $A $ 를 기저 $ S $ 에 대한 $T$ 의 행렬이라 하고 $ A = \left[ T \right]_S $ 로 간단히 나타낸다.

$ A = \left[ T \right] _{S, R} $ 가 존재한다면임의의  $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ \left[ T(\mathbf{x}) \right]_R = A \left[ \mathbf{x} \right] _S $ 이다.

임의의 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ \mathbf{x} = k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_n \mathbf{x_n} $ 이라 하면 $ S $ 에 대한 $ \mathbf{x} $ 의 좌표벡터는 $ [ \mathbf{x} ]_S = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix} $ 이다.

그렇다면 $ T(\mathbf{x}) = T(k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots k_n \mathbf{x_n}) = k_1 T(\mathbf{x_1}) + k_2 T(\mathbf{x_2}) + \cdots + k_n \mathbf{x_n}) $ 이다.

$ T(\mathbf{x}) $ 는 $ W $ 의 벡터이므로 기저 $ R $ 에 대하여 다음이 성립한다.

$ \left[ T(\mathbf{x} ) \right]_R = k_1 \left[ T( \mathbf{x_1}) \right] _R + k_2 \left[ T( \mathbf{x_2}) \right] _R + \cdots + k_n \left[ T( \mathbf{x_n}) \right] _R $

$ = \begin{bmatrix} \left[ T( \mathbf{x_1}) \right] _R & \left[ T( \mathbf{x_2}) \right] _R & \cdots & \left[ T( \mathbf{x_n}) \right] _R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix} $

$ = A [ \mathbf{x} ] _S $

$$ \begin{array}{cccccc} \mathbf{x} & & \overset{T}{\longrightarrow} & & \mathbf{y} = T(\mathbf{x}) \\ \downarrow & & & & \downarrow & \\ {[\mathbf{x}]}_S & & \overset{A}{\longrightarrow} & & {[\mathbf{y}]}_S = A {[\mathbf{x}]}_S \end{array} $$

선형변환 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ $(m > n) $ 에 대하여 $ \mathbb{R}^n $ 의 순서 기저를 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 이라 하고, $ \mathbb{R}^m $ 의 순서 기저를 $ R = \{ \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \cdots, \mathbf{y_m} \} $ 라 할 때 다음과 같은 방법으로 $ A = [ T ] _{S, R} $ 을 쉽게 구할 수 있다.

$$ \begin{bmatrix} \begin{array}{cccc:c:c:c:c} \mathbf{y_1} & \mathbf{y_2} & \cdots & \mathbf{y_n} & T(\mathbf{x_1}) & T(\mathbf{x_2}) & \cdots & T(\mathbf{x_n}) \end{array} \end{bmatrix} $$

위 행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환하면 $ \left[  I_n \mid A  \right] $ 이다.

 

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닮은 행렬

 

벡터공간 $ V $ 에 대하여 $ T : V \to V $ 가 선형변환이고, $ S $ 와 $ R $ 이 각각 $ V $ 의 순서기저일 때 $ A = [T]_S, A^\prime = [T]_R $ 이면 기저 $ R $ 에서 기저 $ S $ 로의 전이행렬 $ P $ 에 대하여 $ A^\prime = P^{-1} AP $ 이다. 증명은 다음과 같다.

$ A $ 와 $ A^\prime $ 이 각각 기저 $ S $ 와 $ R $에 대한 $ T $ 의 행렬이므로 벡터 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ A[\mathbf{x}]_S = \left[ T(\mathbf{x}) \right]_S $ 이고, $ A^\prime [\mathbf{x}]_R = \left[ T(\mathbf{x}) \right]_R $ 이다.

$ P $ 를 기저 $ R $ 에서 $ S $  로의 전이행렬이라 하면 $ P^{-1} $ 은 기저 $ S $ 에서 $ R $ 로의 전이행렬이고 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 $ T(\mathbf{x}) \in V $ 이므로 $ P[\mathbf{x}]_R = [\mathbf{x}]_S $ 이고, $ P^{-1} \left[ T(\mathbf{x})\right]_R $ 이다.

따라서 $ \mathbf{x} \in V $ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$ A^\prime [\mathbf{x}]_R = \left[ T(\mathbf{x}0\right]_R = P^{-1} \left[ T(\mathbf{x}) \right]_S = P^{-1} A[\mathbf{x}]_S = P^{-1} AP[\mathbf{x}]_R $$

즉 $ A^\prime = P^{-1} AP $ 이다.

만약 정사각행렬 $A $ 와 $ B $ 에 대하여 $ B = P^{-1} AP $ 를 만족시키는 가역행렬 $ P $ 가 존재하면 $ B $ 는 $ A $ 와 닮은 행렬이라 한다.

$ n $ 차 정사각행렬 $ A, B, C $ 를 가정하면 다음이 성립한다.

• $ A $ 는 $ A $ 와 닮은 행렬이다.
• $ B $ 가 $ A $ 와 닮은 행렬이면, $ A $ 는 $ B $ 와 닮은 행렬이다.
• $ B $ 가 $ A $ 와 닮은 행렬이고, $ A $ 가 $ C $ 와 닮은 행렬이면, $ B $ 는 $ C $ 와 닮은 행렬이다.