[Linear Algebra] 선형변환(linear transformation)과 그 성질 및 핵(kernel), 상(image), 차원(dimension)

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선형변환

 

벡터공간 $ V $ 의 각 벡터 $ \mathbf{v} $ 를 벡터공간 $ W $ 의 벡터 $ \mathbf{w} $ 에 대응시키는 함수를 $ T $ 라 하면 이를 다음과 같이 나타낸다.

$$ T : V \to W $$

이때 $ \mathbf{w} $ 를 $ T $ 에 의한 $ \mathbf{v} $ 의 상(image)이라 하고 $ \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) $ 로 나타낸다. 그리고 $ V $ 를 $ T $ 의 정의역(domain)이라 한다.

만약 이 $ T $ 가 다음 조건을 만족하면 $ T $ 를 선형변환이라 한다.

• 모든 $ \mathbf{v_1} , \mathbf{v_2} \in V $ 에 대하여 $ T(\mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}) = T(\mathbf{v_1}) + T(\mathbf{v_2}) $ 이다.
• 모든 $ \mathbf{v} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ T(k \mathbf{v}) = k T(\mathbf{v}) $ 이면 $ T $ 이다.

또한 $ V $ 에서 $ V $ 자신으로의 선형변환 $ T : V \to V $ 는 $ V $ 위의 선형연산자(linear operator)라 한다.

선형변환의 특수한 경우가 있다. $ T : V \to W $ 를 모든 $ \mathbf{v} \in V $ 에 대하여 $ T( \mathbf{v} ) = \mathbf{0} $ 으로 정의한다면 $ T $ 는 선형변환인데, 이러한 선형변환은 영변환(zero transformation)이라 한다. 또한 $ T : V \to V $ 를 모든 $ \mathbf{v} \in V $ 에 대하여 $ T(\mathbf{v} ) = \mathbf{v} $ 로 정의한다면 역시 $ T $ 는 선형변환인대, 이러한 선형변환은 항등변환(identity transformation)이라 한다.

기저에 대해서도 선형변환 개념을 적용할 수 있다. $ V $ 가 $ n $ 차원 벡터공간이고 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 이 $ V $ 의 기저이며, $ k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{R} $ 이라 할 때, $ T : V \to \mathbb{R}^n $ 을 $ \mathbf{v} = k_1 \mathbf{x_1} + k_2 \mathbf{x_2} + \cdots + k_n \mathbf{x_n} $ 에 대하여 $ T(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix} $ 으로 정의하면 $ T $ 는 선형변환이다.

$ C [ 0, 1] $ 을 $ [0, 1] $ 에서 $ [0, 1] $ 로의 연속함수 전체의 집합이라 할 때 $ T : C[0, 1] \to \mathbb{R} $ 을 $ f \in C[0, 1] $ 에 대하여 $ T(f) = \int_0^1 f(x) dx $ 로 정의하면 $ T $ 는 선형변환이다. 적분 성질에 의해 $ f, g \in C[0, 1] $ 에 대하여 $ T(f + g) = T(f) + T(g) $ 이고 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ T(kf) = k T(f) $ 이기 때문이다.

 

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행렬변환

 

$ M_{m \times n} $ 과 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 $ M \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m $ 이다. 따라서 $ T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 을 $ T(\mathbf{x}) = M \mathbf{x} $ 라 정의하면 $ T $ 는 선형변환이다.

$ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 $ T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = M(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = M \mathbf{x} + M \mathbf{y} = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) $ 이고, $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ T(k \mathbf{x} ) = M(k \mathbf{x}) = k M \mathbf{x} = k T(\mathbf{x}) $ 이기 때문이다.

이러한 선형변환을 행렬변환이라 한다.

 

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성질

 

벡터공간 $ V , W $ 에 대하여 $ T: V \to W $ 가 선형변환이면 다음이 성립한다.

• $ T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} $ 이다.
• 모든 $ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \in V $ 에 대하여 $ T(\mathbf{v_1} - \mathbf{v_2}) = T(\mathbf{v_1}) - T(\mathbf{v_2}) $ 이다.
• 모든 $ \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n} \in V $ 와 $ k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ T \left( \sum_{i=1}^n k_i \mathbf{v_i} \right) = \sum_{i=1}^n k_i T(\mathbf{v_i}) $ 이다.

 

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동형사상 (Isomorphism)

 

만약 $ T : V \to W $ 가 선형변환이고 $ \mathbf{v_1} \neq \mathbf{v_2} \Longrightarrow T(\mathbf{v_1}) \neq T(\mathbf{v_2}) , \quad \left( \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \in V \right) $ 이 성립한다면 $ T $ 를 일대일함수(one-to-one function) 혹은 단사 함수(injective function)이라 한다.

만약 $ T $ 의 치역(range) $ \{ T(\mathbf{v} \mid \mathbf{v} \in V \} $ 를 $ \operatorname{Im} T $ 로 나타낼 때 $ \operatorname{Im} T = W $ 이면 $ T $ 를 위로 함수(onto function) 혹은 전사 함수(subjective function)이라 한다.

만약 선형변환 $ T $ 가 전사 함수이면서 단사 함수라면 $ T $ 를 동형사상이라 한다.

 

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핵과 상 및 차원

 

• 핵(kernel)

벡터공간 $ V , W $ 에 대하여 $ T: V \to W $ 가 선형변환이라 하면 $ T ( \mathbf{v} ) = \mathbf{0} $ 인 $ V $ 의 벡터 $ \mathbf{v} $ 의 집합을 $ T $ 의 핵(kernel)이라 하고 $ \ker T $ 로 나타낸다.

만약 $ T: V \to W $ 가 선형변환이면 $ T $ 가 단사 함수가 되는 필요충분조건은 $ \ker T = \{ \mathbf{0} \} $ 이다. $ T $ 가 단사 함수라면 $ \mathbf{v} \in \ker T $ 일 때 $ T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} = T (\mathbf{0}) $ 이고 단사 함수이므로 $ \mathbf{v} = \mathbf{0} $ 이어야 한다. 즉 $ \ker T = \{ \mathbf{0} \} $ 이다.

만약 $ T: V \to W $ 가 선형변환이면 $ \ker T $ 는 $ V $ 의 부분공간인데, 이를 핵공간(kernel space)이라 한다. 일반적으로 $ A $ 가 $ m \times n $ 행렬이고, $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 을 $ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $, $ (\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n ) $ 으로 정의하면 $ T $ 는 선형변환이고 $ \ker T $ 는 동차연립일차방정식 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ 의 해공간이다.

 

• 상(image)

만약 $ T: V \to W $ 가 선형변환이면 $ \operatorname{Im} T $ 는 $ W $ 의 부분공간이다.

$ A_{m \times n} $ 행렬과 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 을 가정할 때 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 을 $ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $ 으로 정의하면 $ T $ 는 선형변환이고, $ \operatorname{Im} T $ 는 행렬 $ A $ 의 열공간이다.

 

• 차원(dimension)

벡터공간 $ V, W $ 에 대하여 $ T: V \to W $ 가 선형변환이라 하면, $ \operatorname{Im} T $ 의 차원을 $ T $ 의 계수(rank)라 하고 $ \operatorname{rank} (T) $ 로 나타내며, $ T $ 의 핵공간의 차원을 $ \operatorname{nullity}(T) $ 로 나타낸다. 즉 다음이 성립한다.

$$ \operatorname{rank} (T) = \dim( \operatorname{Im} T) , \quad \operatorname{nullity}(T) = \dim ( \ker T) $$

$ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $ 로 정의한 선형변환 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 에 대해서는 $ \operatorname{rank} (T) = \dim (\operatorname{Im T}) = r(A) = \operatorname{rank} (A) $ 이다.