Mathematics

$ n $ 차원 벡터 $ \mathbb{R}^3 $ 에서 정의한 벡터를 $ \mathbb{R}^n $ 의 벡터로 일반화시켜 벡터의 성질을 확인할 수 있다. 대부분 성질은 $ \mathbb{R}^3 $ 에서 정의되었던 벡터의 성질을 공유한다.$ n $ 개의 실수의 순서쌍을 $ n $ 차원 벡터(n-dimensional vector)라 하고 3차원 벡터와 마찬가지로 수열이나 행렬로 나타내며, 각 원소를 성분이라 한다. 덧셈과 스칼라 곱 역시 동일한 방식으로 계산하도록 정의한다.크기 역시 비슷한데, $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots , x_n) $ 일 때 이 벡터의 크기는 $ \| \mathbf{x} \| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2 } $ 이다.기..

정사영 (Orthogonal Projection) $ \mathbb{R}^3 $ 의 벡터 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{OP} $ 와 $ \mathbf{y} = \overrightarrow{OQ} \leq \mathbf{0} $ 가 있을 때, 점 $ P $ 에서 직선 $ OQ $ 에 내린 수선읠 발을 $ R $ 이라 하면 벡터 $ \mathbf{x_1} = \overrightarrow{OR} $ 을 $ \mathbf{y} $ 위로의 $ \mathbf{x} $ 의 정사영이라 한다.정사영은 다음과 같이 나타낸다.$$ \mathbf{x_1} = \operatorname{proj}_\mathbf{y} \mathbf{x} $$이때 $ \mathbf{x_2} = \overrightarrow..

내적 (Inner Product) $ \mathbb{R}^3 $ 에서 두 벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} $, $ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} $ 의 내적은 다음과 같이 정의된다.$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 + y_3 $$ 이때 영벡터가 아닌 두 벡터의 끼인각을 $ \theta $ $ (0 \leq \theta \leq \pi) $ 라 하면 $ \text{cosine} $ 제2법칙에 의해 다음이 성립한다.$$ \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \..

벡터 (Vector) 1차원 공간 $ \mathbb{R}^1 $, 2 차원 공간 $ \mathbb{R}^2 $, 3차원 공간 $ \mathbb{R}^3 $ 의 벡터는 기하학의 개념인 유향선분(directed line segment)으로 표현할 수 있고, 이때 유향선분의 화살표는 방향을, 길이는 크기(norm)를 나타내며, 출발점은 처음점(intial point), 종점을 끝점(termianl point)이라 한다. 크기와 방향으로 나타내는 벡터를 유클리드 벡터라 한다.만약 유클리드 벡터 $ \mathbf{x} $ 의 처음점이 $ A $ 이고 끝점이 $ B $ 라면 $ \mathbf{x} = \overrightarrow{AB} $ 로 나타내며, 크기는 $ \left\| \mathbf{x} \right\| ..

약수 (Divisor) 정수 $ n $ 과 $ d $ 가 $ d \neq 0 $ 일 때, $ n = dq $ 를 만족하는 정수 $ q $ 가 존재하면 $ d $ 가 $ n $ 을 나눈다(divide)고 정의한다. 이때 $ q $ 를 몫(quotient), $ d $ 를 $ n $ 의 약수 또는 인수(factor)라 한다. 만약 $ d $ 가 $ n $ 을 나누면 $ d \mid n $ 으로 표기하고, 나누지 못한다면 $ d \nmid n $ 으로 표기한다.양의 정수 $ n $ 과 $ d $ 가 $ d \mid n $ 이면 $ d \leq n $ 이다. 왜냐하면 $ d \mid n $ 이면 $ n = dq $ 인 양의 정수 $ q $ 가 존재하며 따라서 $ d \leq dq = n $ 이기 때문이다.몫-나..

크라메르 공식 (Cramer's Rule) 행렬식을 이용하여 연립일차방정식의 해를 구하는 방법에 관련된 공식이다.연립일차방정식이 다음과 같다 가정하자.$$ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \qquad \qquad \qquad \quad \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n \end{cases} $$이를 $ AX = B $ 로 나타내면 $ A $ 와 $ B $ 와 $ X $ 는 아래와 같다.$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a..

여인수 (Cofactor) $ n $ 차 정사각행렬 $ A = \left[ a_{ij} \right] $ 의 $ i $ 행과 $ j $ 열을 제거하여 만든 부분행렬을 $ M_{ij} $, 소행렬(minor matrix)이라 하고, $ | M_{ij} | $ 를 $ a_{ij} $ 의 소행렬식(minor determinant)이라 하며, $ A_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}| $ 를 $ a_{ij} $ 의 여인수라 한다.다음 행렬 $ A $ 를 가정하자.$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$행렬 $ A $ 를 통해 ..

알고리즘 (Algorithms) 알고리즘은 어떤 문제를 해결하기 위한 단계별 방법이며, 다음의 특성을 가진다.입력 (Input) : 알고리즘은 입력을 받는다.출력 (Output) : 알고리즘은 출력을 생성한다.정밀성 (Precision) : 각 단계가 명확하게 기술되어 있다.결정성 (Determinism) : 실행 과정에서 각 단계의 결과는 유일하며, 입력과 이전 단계의 결과에 의해 결정된다.유한성 (Finiteness) : 알고리즘은 유한한 수의 명령어가 실행된 후 종료된다.정확성 (Correctness) : 알고리즘이 생성한 출력은 문제를 정확하게 해결한다.일반성 (Generality) : 알고리즘은 일련의 입력에 대해 적용된다. 의사코드 (Pseudo-code) 영어를 그대로 읽어서 슈도코드라고도 ..

이항 관계 (Binary Relation) 어떤 집합에서 다른 집합으로의 관계(relation)는 첫 번째 집합의 요소들이 두 번째 집합의 어떤 요소들과 관련되어 있는지로 확인할 수 있다. 예를 들어 자연수의 영역에서 정의된 항등함수를 생각하면, $ \{(1, 1), (2, 2), \cdots, (n, n) \} $ 으로 나타낼 수 있을 것이다.즉 집합 $ X $ 에서 집합 $ Y $ 로의 관계(여기서는 두 집합의 관계이므로 이항관계) $ R $ 은 $ X \times Y $ 의 부분집합이다. 만약 $ (x, y) \in R $ 이면, $ x \text{ } R \text{ } y $ 라 쓰고 $ x $ 가 $ y $ 와 관계있다고 말한다. 이 후 관계라 하면 이항 관계를 말한다.이때 관계 $ R $ 의..

순열 (Permutation) 자연수의 집합 $ S = \{ 1, 2, \cdots, n \} $ $ (n \geq 2) $ 에서 $ S $ 로의 전단사 함수 $ \sigma $ 를 순열 혹은 치환이라 하며 다음과 같이 나타낸다.$$ \sigma =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & k & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_k & \cdots & i_n \end{pmatrix} $$또한 이를 다음과 같이 나타낸다.$$ \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix} $$즉 다음과 같다.$$ \sigma(1) = i_1, \cdots , \sigma(k) = i_k , \cdots , \sigma(..