Mathematics

논법 (Argument) 논법(혹은 논증)은 다음과 같이 제시된 일련의 명제들로 구성된다.$$ \begin{align*} & p_1 \\ & p_2 \\ \vdots \\ & p_n \\ \hline & \therefore q \end{align*} $$$$ \text{or} $$$$ p_1, p_2, \cdots , p_n / \therefore q $$논법이 유효(valid)하려면 $ p_1 $, $ p_2 $, $ \cdots $, $p_n $ 이 모두 참인 경우 $ q $ 도 반드시 참이어야 한다. 그렇지 않다면 논즈은 무효(invalid)이다. 앞선 명제, 즉 $ p_1 $, $ p_2 $, $ \cdots $, $p_n $ 은 가설(hypotheses) 또는 전제(premises)라 하며, 명..

최댓값과 최솟값 닫힌 구간이고, 연속인 함수가 있다면 최대, 최소가 반드시 존재한다. 이때 최대, 최소가 될 수 있는 임계점은 다음과 같다.끝점정점: $ f^\prime (c) = 0 $ 이 되는 $ c $ 점특이점: $ f^\prime (c) $ 가 존재하지 않는 $ c $ 점 단조성과 오목성 단조성함수가 특정 구간에서 항상 감소 ($ x_1 f(x_2) $) 하거나 항상 증가 ($ x_1 1계도함수함수가 특정 구간에서 $ f^\prime (x) > 0 $ 이면 그 구간에서 증가하는 함수이다.함수가 특정 구간에서 $ f^\prime (x) 2계도함수함수가 특정 구간에서 $ f^{\prime \prime} (x) > 0 $ 이면 그 구간에서 위로 오목, 즉 아래로 볼록한 함수이다.함수가 특정 구간에서 ..

행렬 (Matrix) 일반적으로 수들을 직사각형 형태로 배열한 것을 말한다. 이때, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 한다. 이때 내부에는 수 뿐 아니라 식 등 다양한 것들이 들어갈 수 있는데 이를 원소(element) 혹은 성분(entry)이라 한다. 아래와 같은 행렬은 가로줄이 세 개이므로 행이 세 개, 세로줄이 두 개 이므로 행이 두 개인 행렬이다. 즉 크기가 $ 3 \times 2 $ 인 행렬이다. 또한 크기가 $ 3 \times 2 $ 이기 때문에 성분의 개수는 6 개이다.$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} $$행렬은 또 다르게 $ A = \begin{bmatrix} a_{..

명제 (Proposition) 참인지 거짓인지 알 수 있는 문장특정 명제를 $ p, q, r $ 등으로 나타냄$ p: 1 + 1 = 3 $ 과 같은 형식 논리 연산과 진리표 $ \land $ | 논리곱 (Conjunction)둘 다 참일 때만 참이다.$$ p $$$$ q $$$$ p \land q $$TrueTrueTrueTrueFalseFalseFalseTrueFalseFalseFalseFalse$ \lor $ | 논리합 (Disjunction)둘 다 거짓일 때만 거짓이다.$$ p $$$$ q $$$$ p \lor q $$TrueTrueTrueTrueFalseTrueFalseTrueTrueFalseFalseFalse$ \lnot $ | 부정 (Negation)명제가 거짓이면 참이고, 참이면 거짓이다.$..

도함수 도함수는 미분계수를 일반화시킨 개념이다. 즉 도함수는 어떤 함수의 접선의 기울기를 나타내는 함수이다. 정의는 아래와 같이 할 수 있다.함수 $ f $ 의 정의역의 원소 $ x $ 에 다음 극한값 $ m_x = \lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} $ 가 존재하면 $ m_x $ 함수를 $ f $ 의 도함수라 한다.이러한 도함수를 나타내는 방법은 여라가지가 있는데 아래와 같이 나타낼 수 있다.뉴턴 표기법$ f^\prime (x) $라이프니츠 표기법$ \dfrac{d}{dx} f(x) $미분연산자 활용$ D f(x) $ 도함수 성질 합차법칙$ D \left[ f(x) \pm g(x) \right] = D f(x) \pm D g(x) ..

정의 함수 $ f(x) $ 가 존재할 때 임의의 양수 $ \epsilon $ 만큼 주어진 치역 범위 $$ \left| f(x) - L \right|  설명 $ f(x) $ 의 값과 $ L $ 의 값의 차이가 임의의 양수 $ \epsilon $ 미만이 되도록 하자. 즉, $ \epsilon $ 이 한없이 작아진다면, 편의상 $ f(x) $ 가 $ L $ 에 한없이 가까워진다고 할 수 있다. 또한, $ x $ 와 $ c $ 의 차가 양수이면서 $ \delta $ 보다 작다고 가정하자. 즉, $ \delta $ 가 한없이 작아진다면 $ x $ 가 $ c $ 에 한없이 가까워진다고 할 수 있다.이러한 상황에서 함수 $ f(x) $ 의 치역과 정의역의 관계를 다음과 같이 정리할 수 있다. $ f(x) $ 가 $ ..

수 체계 표 복소수 $ \mathbb{C} $실수 $ \mathbb{R} $허수 $ \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $유리수 $ \mathbb{Q} $무리수 $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $정수 $ \mathbb{Z} $정수가 아닌 유리수 $ \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} $범자연수 $ \mathbb{N_0} $음의 정수 $ \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} $$ \mathbb{0} $ 대수적 구조의 기본 성질 • 교환법칙 (Commutative Property)두 요소를 결합할 때 그 순서가 바뀌어도 결과가 동일한 성질이다.예를 들어 덧셈의 교환법칙 $ a+b=b+a $ 와 곱셈의 교환법칙 $ a ..

특수각에 대한 삼각함수 값 • $ 0 $$$ \sin 0 = 0 $$$$ \cos 0 = 1 $$$$ \tan 0 = 0 $$$$ \csc 0 \text{   undefined} $$$$ \sec 0 = 1 $$$$ \cot 0 \text{   undefined} $$• $ \dfrac{\pi}{6} = 30^\circ $$$ \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} $$$$ \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$$$ \tan \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} $$$$ \csc \dfrac{\pi}{6} = 2 $$$$ \sec \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $$$$ \cot..

집합 표기법 집합(set)은 객체들, 즉 원소(element, member)의 모임이다. 원소의 순서는 상관없으며 중복도 가능하다. 집합은 중괄호 {} 로 묶어서 표현하며 집합 내 원소를 표현하는 방법은 다음 세 가지가 있다.원소 나열법집합 내 원소들을 일일이 나열하여 집합을 표기한다.$$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$조건 제시법집합의 원소가 될 수 있는 조건을 조건식으로 표기한다.$$ A = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x 벤다이어그램집합과 원소의 포함관계를 그림으로 표기한다. 기본 용어 $ | X | $ | 기수 (Cardinality)집합이 유한집합일 때 원소의 개수를 말한다. 예를 들어 유한집합 $ X $ 가 있다고 할 때 $ |X| $ 는 $ X $ 의 ..