[Calculus] 도함수의 특이점

---

최댓값과 최솟값

 

닫힌 구간이고, 연속인 함수가 있다면 최대, 최소가 반드시 존재한다. 이때 최대, 최소가 될 수 있는 임계점은 다음과 같다.

• 끝점
• 정점: $ f^\prime (c) = 0 $ 이 되는 $ c $ 점
• 특이점: $ f^\prime (c) $ 가 존재하지 않는 $ c $ 점

 

---

단조성과 오목성

 

• 단조성

함수가 특정 구간에서 항상 감소 ($ x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) > f(x_2) $) 하거나 항상 증가 ($ x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) < f(x_2) $) 하면 단조롭다고 한다.

• 1계도함수

함수가 특정 구간에서 $ f^\prime (x) > 0 $ 이면 그 구간에서 증가하는 함수이다.

함수가 특정 구간에서 $ f^\prime (x) < 0 $ 이면 그 구간에서 감소하는 함수이다.

• 2계도함수

함수가 특정 구간에서 $ f^{\prime \prime} (x) > 0 $ 이면 그 구간에서 위로 오목, 즉 아래로 볼록한 함수이다.

함수가 특정 구간에서 $ f^{\prime \prime} (x) < 0 $ 이면 그 구간에서 위로 볼록, 즉 아래로 오목한 함수이다.

• 변곡점

함수 $ f $ 가 $ c $ 를 경계로 한쪽에서는 위로 오목하고 다른 쪽에서는 아래로 오목하면 $ (c, f(c)) $ 를 $ f $ 의 변곡점이라고 한다. 변곡점이 생길 수 있는 위치는 $ f^{\prime \prime} (x) = 0 $ 인 지점과 $ f^{\prime \prime} $ 가 존재하지 않는 지점이다.

 

---

극댓값과 극솟값

 

• 극대와 극소

함수의 그래프에서 증가와 감소가 바뀌는 지점을 극점이라 하고, 극대점은 증가에서 감소로, 극소점은 감소에서 증가로 바뀌는 지점으로 극대점과 극소점이 극점이다. 극점은 임계점, 즉 끝점, 정점, 특이점에서 생길 수있다.

• 1계도함수에 의한 극값 판정

$ f $ 가 열린구간 $ (a,b) $ 에서 연속이고, 임계점 $ c $ 는 $ (a,b) $ 의 원소일 때

• $ (a,c) $ 에서 $ f^\prime (x) > 0 $ 이고 $ (c,b) $ 에서 $ f^\prime (x) < 0 $ 이면 $ f(c) $ 는 $ f $ 의 극댓값이다.
• $ (a,c) $ 에서 $ f^\prime (x) < 0 $ 이고 $ (c,b) $ 에서 $ f^\prime (x) > 0 $ 이면 $ f(c) $ 는 $ f $ 의 극솟값이다.
• $ c $ 의 양쪽에서 $ f^\prime (x) $ 의 부호가 같으면 $ f (c) $ 는 극값이 아니다.

표를 통해서도 확인할 수 있다. 아래는 그 예이다.

$$ x $$	$$ x < -1 $$	$$ -1 $$	$$ -1 < x < 1 $$	$$ 1 $$	$$ 1 < x $$
$$ f^\prime (x) $$	$$ + $$	$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$ f(x) $$	$$ \nearrow $$	$$ \cap $$	$$ \searrow $$	$$ \cup $$	$$ \nearrow $$

• 2계도함수에 의한 극값 판정

두 번 미분하기 편할 때 주로 사용한다. $ f^\prime $ 과 $ f^{\prime \prime} $ 이 $ c $ 를 포함하는 열린구간 $ (a,b) $ 에서 존재하고, $ f^\prime (c) = 0 $ 이라 할 때

• $ f^{\prime \prime} (c) < 0 $ 이면 $ f(c) $ 는 $ f $ 의 극댓값이다.
• $ f^{\prime \prime} (c) > 0 $ 이면 $ f(c) $ 는 $ f $ 의 극솟값이다.
• $ f^{\prime \prime} (c) = 0 $ 이면 극대, 극소에 관한 아무런 결론도 내릴 수 없다.

표를 통해서도 확인할 수 있다. 아래는 그 예이다.

$$ x $$	$$ x < -2 $$	$$ -2 $$	$$ -2 < x < 0 $$	$$ 0 $$	$$ 0 < x < 2 $$	$$ 2 $$	$$ 2 < x $$
$$ f^\prime (x) $$	$$ + $$ $$ \text{ } \nearrow $$	$$ 0 $$	$$ - $$ $$ \text{ } \searrow $$			$$ 0 $$	$$ + $$ $$ \text{ } \nearrow $$
$$ f^{\prime \prime} (x) $$	$$ - $$			$$ 0 $$	$$ + $$
$$ f(x) $$	$$ / $$	극댓값	$$ \backslash $$		$$ \backslash $$	극솟값	$$ / $$

 

---

무한대에서의 극한

 

$ x \to \pm \infty $ 일 때 극한의 엄밀한 정의가 필요하다. 엡실론-델타 논법을 통해 설명하면 아래와 같이 설명할 수 있다.

$ f $ 가 $ [c, \infty ) $ 에서 정의되었다고 가정할 때 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대하여 이에 대응하는 실수 $ M $ 이 있어 $ x > M \Longrightarrow \left| f(x) - L \right| < \epsilon $ 이면 $ \lim_{x \to \infty}{f(x)} = L $ 이다.

$ f $ 가 $ (- \infty, c] $ 에서 정의되었다고 가정할 때 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대하여 이에 대응하는 실수 $ M $ 이 있어 $ x < M \Longrightarrow \left| f(x) - L \right| < \epsilon $ 이면 $ \lim_{x \to - \infty}{f(x)} = L $ 이다.

즉 위 조건을 만족하지 않는다면 발산한다고 할 수 있다.

 

---

점근선

 

점근선은 함수의 그래프가 한없이 가까워지지만 절대로 닿지 않는 직선을 말한다. 점근선은 극한 개념과 연관되어 있으며 함수가 특정 값으로 수렴하거나 무한히 발산할 때 나타나는 그래프의 경향을 설명할 수 있다. 점근선은 수평점근선과 수직점근선이 있는데 각 충분조건은 아래와 같다.

• 수직점근선

직선 $ x = c $ 가 $ y = f(x) $ 의 수직점근선이 되기 위한 충분조건은 다음과 같다.

$$ \lim_{x \to c^+}{f(x)} = \infty $$

$$ \lim_{x \to c^+}{f(x)} = - \infty $$

$$ \lim_{x \to c}{f(x)} = \infty $$

$$ \lim_{x \to c}{f(x)} = - \infty $$

$$ \lim_{x \to c^-}{f(x)} = \infty $$

$$ \lim_{x \to c^-}{f(x)} = - \infty $$

• 수평점근선

직선 $ y = c $ 가 $ y = f(x) $ 의 수평점근선이 되기 위한 충분조건은 다음과 같다.

$$ \lim_{x \to \infty}{f(x)} = c $$

$$ \lim_{x \to - \infty}{f(x)} = c $$