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도함수

 

도함수는 미분계수를 일반화시킨 개념이다. 즉 도함수는 어떤 함수의 접선의 기울기를 나타내는 함수이다. 정의는 아래와 같이 할 수 있다.

함수 f 의 정의역의 원소 x 에 다음 극한값 mx=lim 가 존재하면 m_x 함수를 f 의 도함수라 한다.

이러한 도함수를 나타내는 방법은 여라가지가 있는데 아래와 같이 나타낼 수 있다.

  • 뉴턴 표기법

f^\prime (x)

  • 라이프니츠 표기법

\dfrac{d}{dx} f(x)

  • 미분연산자 활용

D f(x)

 


도함수 성질

 

  • 합차법칙

D \left[ f(x) \pm g(x) \right] = D f(x) \pm D g(x)

  • 곱법칙

D \left[ f(x)g(x) \right] = f(x)Dg(x) + Df(x)g(x)

  • 몫법칙

D \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = \dfrac{Df(x)g(x)-f(x)Dg(x)}{ \left[ g(x) \right]^2}

  • 연쇄법칙

미분연산자 표기: D_x y = D_u y \times D_v u \times D_x v

라이프니치 표기: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dv} \times \dfrac{dv}{dx}

  • 어림값 구하기

dy = f^\prime (x) dx 일 때 dx = \Delta x 를 통해 dy 를 어림할 수 있다.

f(x+\Delta x) \approx f(x) + dy = f(x) + f^\prime (x) \Delta x

 


음함수 미분

 

해당 식을 모두 미분하고, \dfrac{dy}{dx} 만 남기고 우측으로 넘겨 정리한다.

주의할 점은 y x 에 대한 함수이므로 y^2 x 로 미분한다면 2 \dfrac{dy}{dx} 가 아니라 연쇄법칙을 적용해서 2y \times \dfrac{dy}{dx} 가 된다. 그 외 y 에 대한 미분을 할 때도 주의해야 한다.

 


삼각함수의 극한과 도함수

 

  • 삼각함수의 극한

\lim_{t \to 0}{\cos{t}} = 1

\lim_{t \to 0}{\sin{t}} = 0

\lim_{t \to 0}{\dfrac{\sin{t}}{t}} = 1

\lim_{t \to 0}{\dfrac{1-\cos{t}}{t}} = 0

  • 삼각함수의 도함수

D(\sin{x}) = \cos{x}

D(\cos{x}) = - \sin{x}

D(\tan{x}) = \sec^2 x

D(\csc{x}) = - \csc{x} \times \cot{x}

D(\sec{x}) = \sec{x} \times \tan{x}

D(\cot{x}) = - \csc^2 x

 

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