[Calculus] 도함수(derivative)의 성질 및 삼각함수의 도함수

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도함수

 

도함수는 미분계수를 일반화시킨 개념이다. 즉 도함수는 어떤 함수의 접선의 기울기를 나타내는 함수이다. 정의는 아래와 같이 할 수 있다.

함수 $ f $ 의 정의역의 원소 $ x $ 에 다음 극한값 $ m_x = \lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} $ 가 존재하면 $ m_x $ 함수를 $ f $ 의 도함수라 한다.

이러한 도함수를 나타내는 방법은 여라가지가 있는데 아래와 같이 나타낼 수 있다.

• 뉴턴 표기법

$ f^\prime (x) $

• 라이프니츠 표기법

$ \dfrac{d}{dx} f(x) $

• 미분연산자 활용

$ D f(x) $

 

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도함수 성질

 

• 합차법칙

$ D \left[ f(x) \pm g(x) \right] = D f(x) \pm D g(x) $

• 곱법칙

$ D \left[ f(x)g(x) \right] = f(x)Dg(x) + Df(x)g(x) $

• 몫법칙

$ D \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = \dfrac{Df(x)g(x)-f(x)Dg(x)}{ \left[ g(x) \right]^2} $

• 연쇄법칙

미분연산자 표기: $ D_x y = D_u y \times D_v u \times D_x v $

라이프니치 표기: $ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dv} \times \dfrac{dv}{dx} $

• 어림값 구하기

$ dy = f^\prime (x) dx $ 일 때 $ dx = \Delta x $ 를 통해 $ dy $ 를 어림할 수 있다.

$ f(x+\Delta x) \approx f(x) + dy = f(x) + f^\prime (x) \Delta x $

 

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음함수 미분

 

해당 식을 모두 미분하고, $ \dfrac{dy}{dx} $ 만 남기고 우측으로 넘겨 정리한다.

주의할 점은 $ y $ 는 $ x $ 에 대한 함수이므로 $ y^2 $ 을 $ x $ 로 미분한다면 $ 2 \dfrac{dy}{dx} $ 가 아니라 연쇄법칙을 적용해서 $ 2y \times \dfrac{dy}{dx} $ 가 된다. 그 외 $ y $ 에 대한 미분을 할 때도 주의해야 한다.

 

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삼각함수의 극한과 도함수

 

• 삼각함수의 극한

$ \lim_{t \to 0}{\cos{t}} = 1 $

$ \lim_{t \to 0}{\sin{t}} = 0 $

$ \lim_{t \to 0}{\dfrac{\sin{t}}{t}} = 1 $

$ \lim_{t \to 0}{\dfrac{1-\cos{t}}{t}} = 0 $

• 삼각함수의 도함수

$ D(\sin{x}) = \cos{x} $

$ D(\cos{x}) = - \sin{x} $

$ D(\tan{x}) = \sec^2 x $

$ D(\csc{x}) = - \csc{x} \times \cot{x} $

$ D(\sec{x}) = \sec{x} \times \tan{x} $

$ D(\cot{x}) = - \csc^2 x $