[Discrete Mathematics] 논법(argument)과 추론 규칙(rule of inference)

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논법 (Argument)

 

논법(혹은 논증)은 다음과 같이 제시된 일련의 명제들로 구성된다.

$$ \begin{align*} & p_1 \\ & p_2 \\ \vdots \\ & p_n \\ \hline & \therefore q \end{align*} $$

$$ \text{or} $$

$$ p_1, p_2, \cdots , p_n / \therefore q $$

논법이 유효(valid)하려면 $ p_1 $, $ p_2 $, $ \cdots $, $p_n $ 이 모두 참인 경우 $ q $ 도 반드시 참이어야 한다. 그렇지 않다면 논즈은 무효(invalid)이다. 앞선 명제, 즉 $ p_1 $, $ p_2 $, $ \cdots $, $p_n $ 은 가설(hypotheses) 또는 전제(premises)라 하며, 명제 $ q $ 는 결론(conclusion)이라 한다. 기호 $ \therefore $ 은 따라서 의 의미이다.

유효한 논법에서는 때때로 결로닝 가설로부터 도출된다(follow from)고 말한다. 여기서 말하고자 하는 것은 결론이 참이라는 것이 아니라 가설을 인정한다면 결론 또한 인정해야 한다는 것이다. 즉 논법은 그 내용이 아닌 형식(form) 때문에 유효하다.

 

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추론 규칙 (Rule of Inference)

 

추론규칙은 논리학에서 논리식으로부터 다른 논리식을 이끄는 규칙을 말한다. 아래 긍정식 논법을 예로 확인해보자. 예를 들어 아래와 같은 논법이 있다고 가정하자.

$$  \begin{align*} & p \to q \\  & p \\ \hline & \therefore q \end{align*} $$

이를 아래와 같이 표로 그려서 논증해보자.

$$ p $$	$$ q $$	$$ p \to q $$
True	True	True
True	False	False
False	True	True
False	False	True

이때 위 논법에서 $ p \to q $ 가 True 라 가정하고, $ p $ 가 True 라 가정해야 하기 때문에 이를 적용해 본다면 $ q $ 는 True 일 수밖에 없다. 즉 위 논법은 유효한 논법이다.

 

• 긍정식 논법 (Modus Ponens)

$$ \begin{align*} & p \to q \\  & p \\ \hline & \therefore q \end{align*} $$

• 부정식 논법 (Modus Tollens)

$$ \begin{align*} & p \to q \\ & \lnot \text{ } q \\ \hline & \therefore \lnot \text{ } p \end{align*} $$

• 추가법 (Addition)

$$ \begin{align*} & p \\ \hline & \therefore p \lor q \end{align*} $$

• 단순화 (Simplification)

$$ \begin{align*} & p \land q  \\ \hline & \therefore p \end{align*} $$

• 논리곱 (Conjunction)

$$ \begin{align*} & p \\ & q \\ \hline & \therefore p \land q \end{align*} $$

• 가설적 삼단논법 (Hypothetical Syllogism)

$$ \begin{align*} & p \to q \\ & q \to r \\ \hline  & \therefore p \to r \end{align*} $$

• 논리합 삼단논법 (Disjunctive Syllogism)

$$ \begin{align*} & p \lor q \\ & \lnot \text{ } p \\ & \hline  \therefore q \end{align*} $$

 

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후건 긍정의 오류 (the Fallacy of Affirming the Consequent)

 

결론 확정의 오류이기도 하며 "전제이면 결론이다" 라는 명제를 잘못 해석하여 "결론이면 전제이다" 라는 명제로 사용해버리면서 발생하는 오류이다. 예를 들어 아래와 같은 논법이 있다고 해보자.

$$ \begin{align*} & \text{if } 10 = 1 \text{, then I am a man.} \\ & \text{I am a man} \\ \hline & \therefore 10 = 2 \end{align*} $$

얼핏보면 논리적 오류가 없다고 생각할 수도 있지만 기호로 나타내어 보면 확실하게 알 수 있다. 아래는 위 논법을 기호로 나타낸 것이다. $ p $ 는 $ 10 = 1 $ 이고, $ q $ 는 $ \text{I am a man} $ 이다.

$$ \begin{align*} & p \to q \\ & q \\ \hline & \therefore p \end{align*} $$

$ p \to q $ 와 $ q $ 가 참이라 가정하자. 이는 $ p $ 가 거짓이고, $ q $ 가 참일 때도 가능하다. 즉 이 경우 $ p $ 는 참이 아니어도 되므로 위 논법은 무효이다.

또 다른 예에서 추론 규칙을 활용해볼 수 있다. 아래와 같은 논법이 있다고 가정하자.

$$ \begin{align*} & \text{The bug is a either in module 71 or in module 18} \\ & \text{Module 18 has no numerical error} \\ \hline & \therefore \text{The bug is in module 71} \end{align*} $$

이를 아래와 같이 기호화해보자. $ p $ 는 $ \text{The bug is in module 71} $ 이고 $ q $ 는 $ \text{The bug is in module 71} $ 이며 $ r $ 은 $ \text{The bug is a numerical error} $ 이다.

$$ \begin{align*} & p \lor q \\ & r \\ & r \to \lnot \text{ } q \\ \hline & \therefore p \end{align*} $$

$ r \to \lnot \text{ } q $ 와 $ r $ 에서 긍정식 논법을 사용하여 $ \lnot \text{ } q $ 를 도출할 수 있다. 또한 $ p \lor q $ 와 $ \lnot \text{ } q $ 에서 논리합 삼단논법을 사용하여 $ p $ 를 도출할 수 있다. 따라서 결론 $ p $ 는 가설로부터 도출되며 이 논법은 유효하다고 판단할 수 있다.