명제 (Proposition)

 

참인지 거짓인지 알 수 있는 문장

특정 명제를 $ p, q, r $ 등으로 나타냄

$ p: 1 + 1 = 3 $ 과 같은 형식

 


논리 연산과 진리표

 

  • $ \land $ | 논리곱 (Conjunction)

둘 다 참일 때만 참이다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ p \land q $$
True True True
True False False
False True False
False False False
  • $ \lor $ | 논리합 (Disjunction)

둘 다 거짓일 때만 거짓이다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ p \lor q $$
True True True
True False True
False True True
False False False
  • $ \lnot $ | 부정 (Negation)

명제가 거짓이면 참이고, 참이면 거짓이다.

$$ p $$ $$ \lnot \text{ } p $$
True False
False True
  • $ \oplus $ 혹은 $ \veebar $ | 배타적 논리합 (Exclusive-OR)

둘 중 하나가 참이면, 즉 두 명제의 참, 거짓이 다르면 참이다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ p \oplus q $$
True True False
True False True
False True True
False False False
  • $ p \rightarrow q $ | 조건 명제 (Conditional Proposition)

조건 명제는 두 명제를 연결하는 형식의 논리 명제로 "만약 $ p $ 라면 $ q $ 이다" 와 같은 형태를 가진다. 여기서 $ p $ 는 가설(hypothesis) 혹은 전제(antecedent)라 하고, $ q $ 는 결론(conclusion) 혹은 결과(consequent)라 한다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ p \rightarrow q $$
True True True
True Fasle False
False True True
False False True

주의할 점은 조건 명제의 결과가 참이라는 것이 결과가 참이라는 뜻은 아니다.

  • $ q \rightarrow p $ | 역 명제 (Converse of Propopsition)

조건 명제에서 가설과 결론을 뒤집는 것이다. 조건 명제일 때와 진리값이 달라질 수 있다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ q \rightarrow p $$
True True True
True False True
False True False
False False True
  • $ p \leftrightarrow q $ 혹은 $ \text{iff} $ | 쌍조건 명제 (Biconditional Proposition)

두 명제가 모두 참이거나 모두 거짓이면 참이다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ p \leftrightarrow q $$
True True True
True False False
False True False
False False True
  • $ \equiv $ | 논리적 동치 (Logically Equivalent)

명제들로 이루어진 명제, 예를 들어 조건 명제 둘이 같은 조건에서 항상 진리값이 같다면 논리적 동치라 한다. 예를 들어 $ \lnot \text{ } ( p \lor q ) $ 와 $ \lnot \text{ } p \land \lnot \text{ } q $ 는 아래와 같이 같은 조건이라면 같은 진리값을 가지기 때문에 동치이다. 즉 $ \lnot \text{ } ( p \lor q ) \equiv \lnot \text{ } p \land \lnot \text{ } q $ 이다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ \lnot \text{ } ( p \lor q ) $$ $$ \lnot \text{ } p \land \lnot \text{ } q $$
True True False False
True False False False
False True False False
False False True True

 


성질

 

  • 논리의 드 모르간의 법칙 (De Morgan's Law for Logic)

$$ \lnot \text{ } ( p \lor q ) \equiv \lnot \text{ } p \land \lnot \text{ } q $$

$$ \lnot \text{ } ( p \land q ) \equiv \lnot \text{ } p \lor \lnot \text{ } q $$

  • 대우 (Contrapositive)

조건 명제에서 가설과 결론 모두 진리값을 뒤집는 것이다. 예를 들어 가설이 참이고 결론이 거짓인 조건 명제의 대우는 가설이 거짓이고 결론이 참인 조건 명제이다. 이때 원래 명제와 그 대우는 동치이다.

$$ p $$ $$ q $$ $$ p \rightarrow q $$ $$ \lnot \text{ } p \rightarrow \lnot \text{ } q $$
True True True True
True False False False
False True True True
False False True True

 


연산자 우선순위

 

일반적인 수학 수식과 마찬가지로 괄호를 최우선으로 계산한다. 괄호가 없다면 아래 표를 따른다. 표는 상위에 있을수록 연산 우선순위가 높다는 뜻이다.

$ \lnot $ 부정
$ \land $ 논리곱
$ \lor $ 논리합
$ \oplus $ 배타적 논리합
$ \rightarrow $ 조건
$ \leftrightarrow $ 쌍조건

 

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