Mathematics

수열 (Sequence) 수열 $ s $ 는 정의역 $ D $ 가 정수의 부분집합인 함수이다. $ s(n) $ 대신 $ s_n $ 표기법을 사용하며, 이때 $ n $ 을 수열의 인덱스(index)라 한다. $ D $ 가 유한 집합인 수열을 유한 수열, 그렇지 않으면 무한 수열이라 한다. 수열은 $ s $ 으로 표기하고, 수열의 단일 원소는 인덱스를 붙여 $ s_n $ 으로 나타낸다.무한 수열은 다음과 같은 수열을 고려해 확인해볼 수 있다. 수열 $ s : 2, 4, 6, \dots , 2n , \dots $ 을 고려하면 $ n $ 번째 원소는 $ 2n $ 이다. 만약 정의역이 양의 정수 집합 $ \mathbb{Z}^+ $ 라면 $ s_1 = 2, s_2 = 4, \dots , s_n = 2n, \dots..

함수의 정의 함수는 어떤 집합의 각 원소를 다른 어떤 집합의 각 원소에 유일하게 대응시키는 관계를 말한다. 예를 들어 $ X $ 와 $ Y $ 가 집합일 때 $ X $ 에서 $ Y $ 로의 함수 $ f $ 는 $ f : X \to Y $ 로 나타낸다. 이는 카테시안 곱 $ X \times Y $ 의 부분집합으로 정의되며 카테시안 곱은 $ \{ (x,y) \mid x \in X, y \in Y \} $ 이다. 각 $ x \in X $ 에 대해 정확히 하나의 $ y \in Y $ 가 존재하여 $ (x,y) \in f $ 를 만족하는 성질을 가진다. 이를 $ f(x) = y $ 라 표기한다.이때 집합 $ X $ 를 정의역(domain)이라 하고, 집합 $ Y $ 를 공역(codomain)이라 한다. $ f $..

바닥 함수 (Floor Function) $$ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x \} $$입력값 이하의 가장 큰 정수를 반환하는 함수로, 내림 함수, 버림 함수, 최대 정수 함수라고도 한다. 기호로 표기할 때 $ [x] $ 를 사용하기도 한다.예를 들어 $ \lfloor 8.5 \rfloor = 8 $ 이고, $ \lfloor -8.5 \rfloor = -9 $ 이다.바닥 함수를 이용해서 실수의 소수 부분만 분리도 가능하다. 예를 들어 $ 8.12 $ 의 소수 부분은 $ 8.12 - \lfloor 8.12 \rfloor $ 이다. 천장 함수 (Ceiling Function) $$\lceil x \rceil = \min \{ n \in..

삼각행렬의 성질 삼각행렬은 하삼삭행렬(lower triangular matrix)와 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 나뉜다.어떤 두 행렬이 하삼각행렬이고 서로 행렬곱 연산이 가능할 때 두 행렬의 곱은 하삼각행렬이다. 또한 만약 하삼각행렬인 행렬이 가역행렬이라면 이 행렬의 역행렬은 하삼각행렬이다. 당연하게도 하삼각행렬과 하삼각행렬을 더하면 하삼각행렬이 나온다. 상삼각행렬 역시 같은 성질을 지닌다. 즉 각 삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀있다. LU 분해 단위행렬에 기본 행 연산을 했을 때 나오는 기본행렬은 단위행렬, 상삼각행렬, 하삼각행렬, 혹은 치환행렬이다. 치환행렬(permutation matrix)은 단위행렬에서 행을 교환하여 얻은 행렬이다.가우스-요르단 소거법으로..

유일한 해 연립일차방정식을 $ AX = B $ 꼴로 나타낼 때, 만약 $ A $ 가 $ n $ 차 정사각행렬이면서 가역행렬이고, $ B $ 가 $ n \times 1 $ 행렬이라면 이 연립일차방정식은 유일한 해 $ X = A^{-1}B $ 를 갖는다. 증명은 다음과 같다.$ n $ 차 정사각행렬을 $ A $ 는 가역행렬이므로 $ A^{-1} $ 이 존재한다. 연립일차방정식 $ AX = B $ 양변에 $ A^{-1} $ 을 곱하면 $ A^{-1}(AX) = A^{-1}B $ 이다. 이는 $(A^{-1}A)X = A^{-1}B $ 이고, $ I_n X = A^{-1}B $ 이며, $ X = A^{-1}B $ 이다. $ A $ 의 역행렬은 유일하므로 $ X = A^{-1}B $ 는 유일한 해이다. 동차연립일차..

수학적 체계 공리 (Axioms)증명없이 참으로 받아들여지는, 즉 다른 명제로부터 연역되지 않는 명제를 말한다.정의 (Definitions)기존 개념을 사용하여 어떠한 개념의 의미를 규정하는 것이다. 수학적 방법을 통해 좀 더 명확히 표현 가능하다.무정의 용어 (Undefined Terms)명시적으로 정의되지 않으며, 공리나 직관에 의해 암묵적으로 이해되는 기초적인 용어이다. 다른 개념을 설명하기 위해 필요한 기본 용어로, 순환 오류를 방지하기 위해 명시적으로 정의하지 않는다. 예를 들어, 집합론에서의 '집합'이나 기하학에서의 '점'과 '선'이 무정의 용어에 해당한다.정리 (Theorem)공리, 정의를 기초로 연역적으로 이끌린 명제로 참임이 증명된 명제이다.보조정리 (Lemma)다른 정리를 증명하는 데에..

역행렬 (Inverse Matrix) 실수 영역에서 어떤 수에 곱했을 때 결과값을 1 로 만드는 역수가 있다면, 행렬에서는 곱했을 때 결과 행렬을 단위행렬로 만드는 행렬이 있고, 이 행렬을 역행렬이라 한다. 즉 어떤 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 가 있을 때 아래를 만족하는 행렬 $ B $ 를 역행렬이라 하며, $ A^{-1} $ 로 나타낸다.$$ AB = I_n = BA , \quad B = A^{-1} $$이렇게 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix) 혹은 가역행렬(invertible matrix)이라 한다. 역행렬이 존재하지 않을 수 있는데, 이 경우는 특이행렬(singular matrix) 혹은 비가격행렬(noninvertible matrix)이라 한다. 실수 ..

기본 행 연산과 행동치 연립 방정식 풀이연립 일차방정식을 풀 때 각 방정식끼리의 연산을 통해 풀기 쉬운 방정식으로 변환하여 풀이하는 것이 일반적이다. 예를 들어 아래와 같은 연립 일차방정식이 있다고 가정하자.$$ \begin{cases} 3x +  6x_2= 15 & \cdots (1) \\ -x + 7x_2 = 4 & \cdots (2) \end{cases} $$이 연립 방정식을 아래와 같이 풀 수 있을 것이다.$ (2) \times 3 $$$ \begin{cases} 3x + 6x_2 = 15 & \cdots (1) \\ -3x + 21x_2 = 12 & \cdots (2) \end{cases} $$$ (1) + (2) $$$ \begin{cases} 3x + 6x_2 = 15 & \cdots (1)..

명제함수 (Propositional Function) 혹은 술어 (Predicate) 명제는 참이나 거짓이 결정되어 있어야 한다. 예를 들어 " $ P $ : $ n $ 은 짝수이다" 같은 형태는 $ n $ 에 따라 $ P $ 가 True 혹은 False 로 결정되기 때문에 명제라 할 수 없다.이러한 문장 " $ P $ : $ n $ 은 짝수이다"를 바꾸어서 $ P(x) $ 와 같이 형태로 표현할 수 있다. 이 $ P(x) $ 와 집합 $ D $ 가 주어졌을 때, 각 $ x \in D $ 에 대해 $ P(x) $ 가 명제이면 $ P $ 를 ($ D $ 에 대한) 명제함수, 혹은 술어라 한다. 또한 $ D $ 를 $ P $ 의 논의영역(the domain of discourse)이라 한다. 전칭한정 (Un..

행렬의 분할 하나의 행렬을 가로선과 세로선을 이용해서 몇 개의 블록으로 분할 가능하다. 이렇게 분할된 블록들을 행렬로 나타낼 수 있고, 이 행렬들을 원래 행렬의 부분행렬(submatrix)이라 한다. 또한 부분행렬의 성분으로 나타낸 원래 행렬을 블록행렬(block Matrix)라 한다.예를 들어 아래와 같은 행렬이 있다고 가정하자.$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5  & 2 & 1 \\ 9 & 5  & 0 & 2 \\ 2 & 6  & 3 & 7 \end{bmatrix}  $$위 행렬을 임의로 분할해 아래와 같이 만들 수 있다.$$ A = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 4 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 1 ..