Mathematics

표준행렬 (Standard Matrix) 선형변환에 대해 이야기하면서 행렬을 이용한 선형변환을 행렬변환(링크)이라 하였다. 다시 정리해보자면 행렬 $ A_{m \times n} $ 과 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 $ T (\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $ 로 $ T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 을 정의한다면 $ T $ 는 선형변환이다.일반적으로 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 이 선형변환이라면 표준기저 $ \{ \mathbf{e_1} , \mathbf{e_2} , \cdots, \mathbf{e_n} \} $ 에 대하여 다음과 같다고 할 수 있다.$ T(\mathbf{e_1}) = ..

선형변환 벡터공간 $ V $ 의 각 벡터 $ \mathbf{v} $ 를 벡터공간 $ W $ 의 벡터 $ \mathbf{w} $ 에 대응시키는 함수를 $ T $ 라 하면 이를 다음과 같이 나타낸다.$$ T : V \to W $$이때 $ \mathbf{w} $ 를 $ T $ 에 의한 $ \mathbf{v} $ 의 상(image)이라 하고 $ \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) $ 로 나타낸다. 그리고 $ V $ 를 $ T $ 의 정의역(domain)이라 한다.만약 이 $ T $ 가 다음 조건을 만족하면 $ T $ 를 선형변환이라 한다.모든 $ \mathbf{v_1} , \mathbf{v_2} \in V $ 에 대하여 $ T(\mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}) = T(\mathbf..

오일러 사이클 그래프 안의 모든 정점과 모든 간선을 포함하는 사이클을 오일러 사이클이라 한다. 쾨니히스베르크 다리 문제가 대표적인 오일러 사이클을 확인하는 문제이다.어떤 그래프 $ G $ 가 오일러 사이클을 가진다면, $ G $ 는 연결 그래프이고, 각 정점의 차수는 짝수여야 한다. 이를 증명하기 위해 $ G $ 가 오일러 사이클을 가진다 가정하자. $ v $ 와 $ w $ 가 $ G $ 의 정점이면 $ v $ 에서 $ w $ 까지 취한 오일러 사이클의 일부는 $ v $ 에서 $ w $ 까지의 경로이고, 따라서 $ G $ 는 연결 그래프이다. 어떤 간선으로 $ v $ 에 도착하면 다른 간선을 따라 반드시 떠나야 하기 때문에, 또한 $ v $ 에 연결된 모든 간선이 반드시 사용되어야 하기 때문에 $ v $..

그래프 그래프는 정점(vertex)과 간선(edge)로 이루어져 있는데, 각 정점들을 연결하는 것이 간선이다. 특정 정점에서 다른 정점으로 이동하는것을 경로(path)라 한다.그래프는 무방향 그래프(undirected graph)와 방향 그래프(directed graph)로 나눌 수 있는데, 무방향 그래프는 정점의 집합 $ V $ 와 간선의 집합 $ E $ 로 구성되어 있고, 각 간선 $ e \in E $ 는 순서가 없는 정점의 쌍으로 나타낸다. 일반적으로 그냥 그래프라 말하면 무방향 그래프를 말한다. 방향 그래프 역시 정점의 집합 $ V $ 와 간선의 집합 $ E $ 로 구성되어 있는데, 각 간선 $ e \in E $ 는 순서가 있는 정점의 쌍으로 나타낸다. 통합적으로 그래프 $ G $ 는 $ G = ..

곡선적합 특정 실험을 통해 측정값을 얻었다면 이를 설명하는 함수를 구할 수 있다. 즉 $ (x_0, y_0) $, $(x_1, y_1) $, $ \cdots $, $(x_n, y_n) $ 과 같은 자료가 주어졌을 때 이 모든 점을 지나면서 이를 대표하는 곡선, 혹은 함수식 $ y = f(x) $ 을 찾을 수 있는데, 이를 곡선적합이라 한다.$$ y = f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^{n-1} $$위와 같은 $ n $ 차 다항식에 대하여 점 $ (x_i, y_i ) $ 가 곡선 $ y = f(x) $ 위에 있다 가정하면, $ f(x_i) = y_i $ 이다. 이를 $ n + 1 $ 개의 미지수 $ a_0, a_1, \cdots, a_n $ 를 가진 선형방..

정규직교집합 내적공간의 원소 $ \mathbf{x} $ 와 $\mathbf{y} $ 에 대하여 $ \left = 0 $ 일 때 두 벡터가 직교한다고 정의하였다. 만약 $ V $ 가 내적공간일 때 $ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \in V $ 에 대하여 $ S = \{ \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots, \mathbf{x_n} \} $ 을 가정하자. 이때 $ S $ 의 서로 다른 두 벡터가 모두 직교한다면 $ S $ 를 직교집합(orthogonal set)이라 한다. 또한 직교집합 $ S $ 의 벡터가 모두 단위벡터이면 $ S $ 를 정규직교집합이라 한다.즉 다음이 정의된다.$ S \text{ } \text{ is or..

점화 관계 점화 관계는 수열을 선행 항으로 표현한다. 점화식이라고도 한다.수열 $ a_0, a_1, \dots $ 에 대한 점화 관계는 $ a_n $ 과 그 앞의 항들인 특정 $ a_0, a_1, \dots, a_{n-1} $ 과의 관계를 나타내는 식이다. 이 수열 $ a_0, a_1, \dots $ 에 대한 초기 조건은 명시적으로 유한 개의 수열 항에 주어진 값들이다.예를 들어 피보나치 수열을 점화 관계로 나타낸다면, $ f_n = f_{n-1} + f_{n-2} $ $ (n \geq 3) $ 이고, 초기 조건은 $ f_1 = 1, f_2 = 1 $ 이다.이러한 점화 관계는 재귀적 알고리즘 및 수학적 귀납법과 관련되어 있다.예를 들어 피보나치 수열의 재귀적 알고리즘을 구현한다면 다음과 같고, 이를 수학..

내적공간 벡터공간 $ V $ 에 대하여 내적(inner product ro dot product)은 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V $ 와 $ k \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음을 만족하는 함수 $ \left: V \times V \to \mathbb{R} $ 이다.$ \left = \left $$ \left = \left + \left $$ k \left = \left = \left $$ \left \geq 0, \quad \left = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0} $일반적으로 정의된 내적 다음의 내적 역시 이에 해당 한다.$ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n $, $ \mathbf..

비둘기집 원리 $ k $ 개의 비둘기집에 $ n $ 마리의 비둘기가 들어갈 때 $ k 비둘기가 $ n +1 $ 마리, 비둘기 집이 $ n $ 개라 할 때 한 집당 한 마리의 비둘기가 들어가 있다고 가정하면, 이미 모든 집에는 비둘기가 들어가 있는데 한 마리의 비둘기는 들어가지 못했기 때문에 이 비둘기 한 마리를 어느 집에 할당해도 특정 비둘기 집은 두 마리의 비둘기가 들어가게 된다. 즉 $ n $ 개의 비둘기 집이 존재할 때 비둘기가 $ n $ 마리를 초과한다면, 그리고 모든 비둘기가 비둘기 집에 들어간다면 반드시 두 마리 이상이 들어가 있는 비둘기 집이 존재한다. 확장 $ f $ 가 유한 집합 $ X $ 에서 유한 집합 $ Y $ 로의 함수이고, $ | X | > | Y | $ 라 할 때, $ x_1,..

기본 개념 실험(experimant)은 결과 도출 과정, 사건(event)은 실험 결과, 표본 공간(sample space)은 가능한 모든 실험 결과 집합이다.유한한 표본공간 $ S $ 에서 모든 결과가 동등하게(equally likely) 일어난다 가정할 때 사건 $ E $ 의 발생 확률 $ P(E) $ 은 $ P(E) = | E | / | S | $ 이다. 만약 가능한 결과가 $ n $ 개 라면 각 결과가 나올 확률은 $ 1/n $ 이다. 그러나 일반적으로 결과는 동등하게 일어나지 않는다.함수 $ P $ 를 확률 함수라 하면 표본공간 $ S $ 의 원소로서 각 결과 $ x \in S $ 에 대해 $ [0, 1] $ 의 수를 할당한다. 이때 할당된 수가 확률이며 $ \sum_{x \in S} P(x) ..