[Mathematical Statistics] 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)
·
Statistics/Mathematical Statistics
코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy–Schwarz Inequality) 절대부등식으로 일반적인 형태는 아래와 같다.$$ \| v \| ^2 \| w \| ^2 \geq | v \cdot w | ^2 $$여기서 $ \| \| $ 는 벡터의 크기(참고링크)이고, $ \cdot $ 은 벡터의 내적(참고링크)이다.이를 확률론에 끌어와 사용할 때는 일반적으로 아래와 같이 사용한다.$$ E(X^2) E(Y^2) \geq E(XY)^2 $$증명은 다음과 같다.$ E[(Y-tX)^2] = E(Y^2)-2tE(XY)+t^2E(X^2) \geq 0 $위 식을 $ t $ 로 편미분하고 $ 0 $ 으로 놓으면 다음과 같다.$ \dfrac{\partial}{\partial t} E[(Y-tX)^2] = -2E(XY) + 2t..