[Mathematical Statistics] 표집분포(sampling distribution)

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표본평균 (Sample Mean)

 

i.i.d. 확률변수 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 에 대한 표본평균 $ \bar{X} $ 는 다음과 같다.

$$ \bar{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $$

표본평균은 모평균을 추정하기 위해 사용된다.

 

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표본분산 (Sample Variance)

 

i.i.d. 확률변수 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 에 대한 표본분산 $ S^2 $ 는 다음과 같다.

$$ S^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 $$

표본분산은 모분산을 추정하기 위해 사용된다.

$ frac{1}{n} $ 이 아니라 $ \frac{1}{n-1} $ 인 이유는 불편추정량 때문이다.

 

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통계량 (Statistic)

 

통계량은 표본에서 관측할 수 있는 확률변수들과 알고 있는 상수의 함수이다. 즉 확률변수이다. 통계량은 미지의 모집단 모수들에 대한 추정 또는 결정에 사용된다. 

가장 많이 사용하는 것은 표본평균, 표본분산, 표본표준편차, 범위, 표본중앙값 등이 있다.

통계량의 적합성(goodness of fit)은 확률변수의 움직임과 그것이 통계량에 미치는 영향에 달려 있다.

 

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표집분포

 

표집분포 표본 분포라고도 한다. 표집분포는 크기 $ n $ 의 확률 표본(random sample)의 확률 변수(random variable)의 분포(distribution)이다. 표집분포는 통계량의 확률분포이다.