확률론

베르누이분포 (Bernoulli Distribution) 베르누이 시행 (Bernoulli Tria)시행 시 두 개의 결과, 즉 성공과 실패만 존재하는 시행이다. 시행에서 성공확률은 $ p $ 로 일정하다. 베르누이분포$ X \sim \text{Bern}(p) $      or      $ X \sim \text{Bernoulli}(p) $베르누이 시행의 분포를 말한다. 확률변수 $ X $ 가 성공확률이 $ p $ 인 베르누이분포를 따르는 경우 위와 같이 나타낸다. 실패 확률 $ 1-p $ 를 $ q $ 로 나타내기도 한다. 베르누이 시행이 이산적이기 때문에 당연히 $ X $ 는 이산확률변수이며 베르누이분포는 이산확률분포이다. 베르누이분포의 성질 $ X \sim \text{Bernoulli}(p) $ 일..

왜도와 첨도 왜도와 첨도는 확률분포의 기울어짐과 꼬리 두께에 관한 측도이다. 여기(링크)를 참고하여 대강의 개념을 알면 좋다. 왜도 (Skewness)$$ \gamma_1 = \dfrac{E\left[ (X-\mu)^3\right]}{\sigma^3} $$$ \gamma_1 $ 혹은 $ S_k $ 로 표기한다.첨도 (Kurtosis)$$ \gamma_2 = \dfrac{E\left[(X-\mu)^4\right]}{\sigma^4} $$$ \gamma_2 $ 혹은 $ K $ 로 표기한다. 표준정규분포의 첨도가 3 이기 때문에 위 첨도 값에서 3 을 빼서 사용하기도 하며, 이때의 첨도를 초과 첨도라 한다. 적률 (Moment) 원래 '적률'은 수학에서의 용어인데, 통계학에서 빌려와 사용한다. 따라서 '적률'..

기댓값과 분산 $ E(X) $ | 기댓값 (Expected Value)$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $$$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $$어떤 확률변수가 평균적으로 가지리라 기대되는 값이다. 즉 확률 과정에서 얻을 수 있는 모든 값에 확률로 가중 평균한 것이다. 이산확률변수는 $ \sum $ 을 사용하여 가중 평균하고, 연속확률변수는 $ \int $ 을 사용하여 가중 평균한다. $ Var(X) $ | 분산 (Variance)$$ Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i $$$$ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx $$각 확률변수 값이..

확률변수 (Random Variable) $$ X : S \to \mathbb{R} $$확률변수란 표본공간을 정의역으로 하고, 실수 값을 치역으로 하는 함수로 확률 실험의 결과를 수치로 나타내는 데에 사용된다. 확률변수의 함수 역시 확률변수이다. 확률 실험의 정보를 어느정도 나타내느냐를 결정하고, 이 확률변수의 분포가 확률분포가 된다.일반적으로 확률변수 $ X $ 가 가질 수 있는 값의 범위가 셀 수 있는지 없는지에 따라 이산확률변수(discrete random variable)와 연속확률변수(continuous random variable)로 나누지만, 그 외 확률변수도 존재한다. 이산확률변수는 유한개의(finite) 값이나 자연수의 부분집합과 일대일 대응이 가능한(countable) 값으로 구성되어 ..

분할 (Partition) 표본공간을 상호배타적인 사건들의 합사건으로 표현할 수 있다. 이때 상호배타적인 사건들의 모임을 표본공간의 분할이라 한다. 상호배타적 사건이라는 것은 $ A \cap B = \emptyset $ 을 만족하는 사건을 말한다. 이러한 분할은 아래와 같이 표현할 수 있다.$$ \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i = B_1 \cup B_2 \cdots = S \quad (\forall {i \neq j} , B_i \cap B_j = \emptyset ) $$ 전확률의 법칙 (Law of Total Probability) $ \{ B_1, B_2, \cdots , B_k \} $ 가 $ S $ 의 분할이고, 모든 $ j $ 에 대하여 $ P(B_j) > 0 $ 이면 다음이 ..

기본 용어 확률 실험 (Random Experiment)실험결과가 확률적으로 나타나는 실험으로 관측값을 생성하는 과정을 말한다.$ S $ or $ \Omega $ | 표본공간 (Sample Space)모든 가능한 표본점들로 이루어진 집합, 즉 확률실험에서 얻을 수 있는 모든 가능한 결과 집합이다.표본공간에 포함되는 결과들은 완전하고 상호배타적이어야 한다. 완전하다(exhaustive)는 것은 나열된 결과들은 모든 가능한 결과들을 포함한다는 뜻이고, 상호배타적(mutually exclusive)이라는 것은 두 가지 결과가 동시에 발생할 수 없다는 뜻이다.사건 (Event)표본공간의 부분집합으로 확률실험의 결과가 사건 집합의 원소이면 사건이 일어났다는 뜻이다.$ P $ | 확률함수 (Probabililty ..