[Mathematical Statistics] t-분포(Student's t-distribution)

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$t$-분포 (Student's $t$-Distribution)

 

분포 자체와는 별 상관 없는 이야기지만 이름에 Student가 붙은 이유는 이 분포를 제안한 윌리엄 고셋이 해당 논문을 낼 때 가명으로 Student를 사용했기 때문이다.

$ Z \sim N(0, 1) $ 과 $ W \sim \chi^2 (\nu) $ 에 대하여 $ Z $ 와 $ W $ 가 독립일 때 $ T = Z / \sqrt{W / \nu} $ 라면 $ T $ 가 $t$-분포를 따른다고 하며 다음과 같다.

$$ T = \dfrac{Z}{\sqrt{W / \nu}} \sim t (\nu) $$

이를 응용할 수 있다. i.i.d.인 $ X_i $ $(i = 1, 2, \dots, n) $ 에 대하여 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ 일 때 $ Z = (\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})  $ 라 하고, $ W = (n-1) S^2 / \sigma^2 $ 이라 하면 당연히 $ Z \sim N(0, 1) $ 이고 $ W \sim \chi^2 (n-1) $ 이다. 그렇다면 $ \bar{X} $ 와 $ S^2 $ 은 독립이므로 $ Z $ 와 $ W $ 는 독립이다. 즉 다음과 같이 $ T $ 를 정의할 수 있다.

$$ T = \dfrac{Z}{\sqrt{W/ \nu}} = \dfrac{\sqrt{n} \left( \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \right)}{\sqrt{\frac{1}{n-1} \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}} =  \dfrac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) $$

즉 $ \sigma $ 를 알았을 때는 카이제곱분포를 이용할 수 있지만, 모를 때는 표본표준편차인 $ S $ 를 통해 $t$-분포를 이용할 수 있다.

$t$-분포는 좌우대칭으로 표준정규분포와 비슷하게 생겼지만 조금 더 낮고, 조금 더 퍼진 형태이다. 자유도가 높을수록 표준정규분포에 가까워진다.

출처: https://ko.wikipedia.org/

참고로 $t$-분포의 $ \operatorname{support} $ 는 $ x \in (- \infty, + \infty ) $ 이다.

 

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$t$-분포의 성질

 

$ X \sim t (\nu) $ 일 때 다음이 성립한다.

• 확률밀도함수 (PDF)

$$ f_X(x) = \dfrac{\Gamma \left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu \pi} \Gamma\left( \frac{\nu}{2} \right)} \left( 1 + \dfrac{x^2}{\nu} \right) ^{- \frac{\nu + 1}{2}} $$

• 누적분포함수 (CDF)

$$ F_X(x) = 1 - \dfrac{1}{2} I_{\frac{\nu}{x^2+\nu}} \left( \dfrac{\nu}{2} , \dfrac{1}{2} \right) $$

$ \operatorname{B}(x, a, b) = \int^x_0 t^{z_1 - 1} (1-t) ^{z_2 - 1} dt $

$ I_x(a, b) $ 는 정규화된 불완전 베타 함수(regularized incomplete beta function)

$ I_x (a, b) = \dfrac{\operatorname{B}(x, a, b)}{\operatorname{B}(a, b)} $

(참고 링크)

• 기댓값

$$ E(X) = 0 $$

• 표준편차

$$ \sigma_X = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{\nu}{\nu-2}} & \qquad \nu > 2 \\ \infty & \qquad 1 < \nu \leq 2 \\ \text{undefined} & \qquad \text{otherwise}  \end{cases} $$

• 적률생성함수 (MGF)

$$ \text{undefined} $$