모집단과 표본 모집단 (Popuation)관심의 대상이 되는 모든 개체의 집합 혹은 확률모형을 말한다. 모집단을 구성하는 개체의 수가 유한할 경우 유한모집단, 무한할 경우 무한모집단이라 한다.표본 (Sample)모집단의 일부로서 실제 조사되는 대상의 집합이다. 확률변수 혹은 확률벡터들의 집합으로 이해할 수 있다.전수조사 (Census)모집단 전체를 조사하는 것이다. 단 조사비용, 시간 등의 문제와 조사과정에서 발생할 수 있는 비표본오차 증가 가능성, 조사 시간에 변화를 측정하지 못하는 문제 등이 있다.표본조사 (Sample Survey)모집단의 일부인 표본을 조사하는 것이다. 경제성, 신속성, 정확성, 필요성, 대표성, 적절성을 가지지만, 모집단을 대표하지 못하는 잘못된 표본을 조사할 경우 잘못된 통계를..

분할 (Partition) 표본공간을 상호배타적인 사건들의 합사건으로 표현할 수 있다. 이때 상호배타적인 사건들의 모임을 표본공간의 분할이라 한다. 상호배타적 사건이라는 것은 $A \cap B = \emptyset$ 을 만족하는 사건을 말한다. 이러한 분할은 아래와 같이 표현할 수 있다. $$\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i = B_1 \cup B_2 \cdots = S \quad (\forall {i \neq j} , B_i \cap B_j = \emptyset )$$  전확률의 법칙 (Law of Total Probability) $\{ B_1, B_2, \cdots , B_k \}$ 가 $S$ 의 분할이고, 모든 $j$ 에 대하여 $P(B_j) > 0$ 이면 다음이 ..

기본 용어 확률 실험 (Random Experiment)실험결과가 확률적으로 나타나는 실험으로 관측값을 생성하는 과정을 말한다.$S$ or $\Omega$ | 표본공간 (Sample Space)모든 가능한 표본점들로 이루어진 집합, 즉 확률실험에서 얻을 수 있는 모든 가능한 결과 집합이다.표본공간에 포함되는 결과들은 완전하고 상호배타적이어야 한다. 완전하다(exhaustive)는 것은 나열된 결과들은 모든 가능한 결과들을 포함한다는 뜻이고, 상호배타적(mutually exclusive)이라는 것은 두 가지 결과가 동시에 발생할 수 없다는 뜻이다.사건 (Event)표본공간의 부분집합으로 확률실험의 결과가 사건 집합의 원소이면 사건이 일어났다는 뜻이다.$P$ | 확률함수 (Probabililty ..

최댓값과 최솟값 닫힌 구간이고, 연속인 함수가 있다면 최대, 최소가 반드시 존재한다. 이때 최대, 최소가 될 수 있는 임계점은 다음과 같다.끝점정점: $f^\prime (c) = 0$ 이 되는 $c$ 점특이점: $f^\prime (c)$ 가 존재하지 않는 $c$ 점 단조성과 오목성 단조성함수가 특정 구간에서 항상 감소 ($x_1 f(x_2)$) 하거나 항상 증가 ($x_1 1계도함수함수가 특정 구간에서$ f^\prime (x) > 0 $이면 그 구간에서 증가하는 함수이다.함수가 특정 구간에서$ f^\prime (x) 2계도함수함수가 특정 구간에서 $f^{\prime \prime} (x) > 0$ 이면 그 구간에서 위로 오목, 즉 아래로 볼록한 함수이다.함수가 특정 구간에서 ..

행렬 (Matrix) 일반적으로 수들을 직사각형 형태로 배열한 것을 말한다. 이때, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 한다. 이때 내부에는 수 뿐 아니라 식 등 다양한 것들이 들어갈 수 있는데 이를 원소(element) 혹은 성분(entry)이라 한다. 아래와 같은 행렬은 가로줄이 세 개이므로 행이 세 개, 세로줄이 두 개 이므로 행이 두 개인 행렬이다. 즉 크기가 $3 \times 2$ 인 행렬이다. 또한 크기가 $3 \times 2$ 이기 때문에 성분의 개수는 6 개이다. $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}$$ 행렬은 또 다르게 $ A = \begin{bmatrix} a_{..

명제 (Proposition) 참인지 거짓인지 알 수 있는 문장특정 명제를 $p, q, r$ 등으로 나타냄$p: 1 + 1 = 3$ 과 같은 형식 논리 연산과 진리표 $\land$ | 논리곱 (Conjunction)둘 다 참일 때만 참이다. $$p$$ $$q$$ $$p \land q$$ TrueTrueTrueTrueFalseFalseFalseTrueFalseFalseFalseFalse$\lor$ | 논리합 (Disjunction)둘 다 거짓일 때만 거짓이다. $$p$$ $$q$$ $$p \lor q$$ TrueTrueTrueTrueFalseTrueFalseTrueTrueFalseFalseFalse$\lnot$ | 부정 (Negation)명제가 거짓이면 참이고, 참이면 거짓이다.$..

도함수 도함수는 미분계수를 일반화시킨 개념이다. 즉 도함수는 어떤 함수의 접선의 기울기를 나타내는 함수이다. 정의는 아래와 같이 할 수 있다.함수 $f$ 의 정의역의 원소 $x$ 에 다음 극한값 $m_x = \lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ 가 존재하면 $m_x$ 함수를 $f$ 의 도함수라 한다.이러한 도함수를 나타내는 방법은 여라가지가 있는데 아래와 같이 나타낼 수 있다.뉴턴 표기법$f^\prime (x)$라이프니츠 표기법$\dfrac{d}{dx} f(x)$미분연산자 활용$D f(x)$ 도함수 성질 합차법칙$ D \left[ f(x) \pm g(x) \right] = D f(x) \pm D g(x) ..

정의 함수 $f(x)$ 가 존재할 때 임의의 양수 $\epsilon$ 만큼 주어진 치역 범위 $$ \left| f(x) - L \right|  설명 $f(x)$ 의 값과 $L$ 의 값의 차이가 임의의 양수 $\epsilon$ 미만이 되도록 하자. 즉, $\epsilon$ 이 한없이 작아진다면, 편의상 $f(x)$ 가 $L$ 에 한없이 가까워진다고 할 수 있다. 또한, $x$ 와 $c$ 의 차가 양수이면서 $\delta$ 보다 작다고 가정하자. 즉, $\delta$ 가 한없이 작아진다면 $x$ 가 $c$ 에 한없이 가까워진다고 할 수 있다.이러한 상황에서 함수 $f(x)$ 의 치역과 정의역의 관계를 다음과 같이 정리할 수 있다. $f(x)$ 가 $ ..

수 체계 표 복소수 $\mathbb{C}$실수 $\mathbb{R}$허수 $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$유리수 $\mathbb{Q}$무리수 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$정수 $\mathbb{Z}$정수가 아닌 유리수 $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$범자연수 $\mathbb{N_0}$음의 정수 $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$$\mathbb{0}$ 대수적 구조의 기본 성질 • 교환법칙 (Commutative Property)두 요소를 결합할 때 그 순서가 바뀌어도 결과가 동일한 성질이다.예를 들어 덧셈의 교환법칙 $a+b=b+a$ 와 곱셈의 교환법칙 $ a ..

특수각에 대한 삼각함수 값 • $0$ $$\sin 0 = 0$$ $$\cos 0 = 1$$ $$\tan 0 = 0$$ $$\csc 0 \text{   undefined}$$ $$\sec 0 = 1$$ $$\cot 0 \text{   undefined}$$ • $\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ$ $$\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$$ $$\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\tan \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\csc \dfrac{\pi}{6} = 2$$ $$\sec \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$$ $$ \cot..