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베타분포 (Beta Distribution) 확률변수 $ X $ 의 밀도함수가 $ \alpha > 0 $ 와 $ \beta > 0 $ 에 대해 다음과 같다면 확률변수 $ X $ 가 베타분포를 따른다고 한다.$$ f(x) = \dfrac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} \qquad 0 \leq x \leq 1 $$더보기베타함수 $ B $ 는 다음과 같이 정의된다.$ B(\alpha, \beta) = \int_0^1 t^{\alpha-1} (1-t)^{\beta-1} dt  = \dfrac{\Gamma{\alpha}\Gamma{\beta}}{\Gamma{\alpha+\beta}} $또한 확률변수 $ X $ 가 매개변수 $ \alpha $, $ \beta ..

지수분포 (Exponential Distribution) 확률변수 $ X $ 가 지수분포를 따른다는 말은 형상모수가 1 인 감마분포를 따른다는 말과 같다. 또한 사건이 독립적일 때 다음 사건이 일어날 때까지의 대기 시간은 지수분포를 따른다.확률변수 $ X $ 가 대기 시간이 $ \beta $ 인 지수분포를 따른다면 다음과 같이 나타낸다.$$ X \sim \text{Expo}(\beta) $$푸아송분포에서 관심을 가진 것이 명시된 영역에서 특정 사건이 평균적으로 발생하는 사건이 $ \lambda $ 일 때 특정 사건이 $ x $ 번 발생할 확률이었다면, 지수분포는 다음 사건까지의 평균적인 대기 시간이 $ \beta $ 일 때의 확률에 관심을 가지는 것이다. 기하분포와 비교하면 기하분포는 첫번째 성공까지의 ..

감마분포 (Gamma Distribution) 어떤 확률변수들은 항상 음이 아니고, 여러 이유에서 분포가 비대칭이다. 대표적으로 감마분포가 그러하다.확률변수 $ X $ 의 밀도함수가 $ \alpha > 0 $ 와 $ \beta > 0 $ 에 대해 다음과 같다면 확률변수 $ X $ 가 감마분포를 따른다고 한다.$$ f(x) = \dfrac{x^{\alpha - 1}e^{-x / \beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \qquad 0 \leq x 더보기감마함수 $ \Gamma $ 는 다음과 같이 정의된다.$ \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha - 1} e^{-t} dt $또한 만약 $ \alpha $ 가 양의 정수라면 다음과 같다.$ \Gamm..

확률값 계산 $ P (a \leq X \leq b ) $ 의 값을 구하기 위해 먼저 $ X $ 를 표준화하고 그 후에 확률을 계산하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이때 $ \varphi $ 는 표준정규분포의 확률밀도함수이다.$$ P(a \leq X \leq b) = P\left( \dfrac{a-\mu}{\sigma} \leq \dfrac{X-\mu}{\sigma} \leq \dfrac{b-\mu}{\sigma} \right) $$$$ = P(z_a \leq Z \leq z_b) $$$$ = \int_{-\infty}^{z_b} \varphi(t) dt - \int_{-\infty}^{z_a} \varphi(t) dt $$$$ = \Phi(z_b) - \Phi(z_a) $$또한 확률밀도함수의 정의를 생..

정규분포 (Normal Distiribution) 확률변수 $ X $ 의 밀도함수가 $ \sigma > 0 $ 와 $ -\infty $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \qquad -\infty 또한 다음과 같이 확률변수 $ X $ 가 기댓값이 $ \mu $ 이고, 표준편차가 $ \sigma $ 인 정규분포를 따름을 나타낸다.$$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $$가우스가 처음 정립했기 때문에 가우스분포(Gaussian distribution)라고도 하나 정규분포라 부르는 것이 일반적이다.확률밀도함수를 그래프로 그리면 아래와 같은데, 대칭적(symmetric)인 종 모양 그래프이다.그림에서도 확인할..

균등분포의 보편성 균등분포의 보편성은 균등분포를 균일분포라 하기도 한다는 점에서 균일분포의 보편성이라고도 하며, 분위수 변환(quantile transformation), 확률적분변환(probability integral transform), 역변환 샘플링(Inverse transform sampling), 혹은 시뮬레이션의 기본 정리(fundamental theorem of simulation)로도 설명 가능하다.주어진 $ U(0, 1) $ 에서 원하는 모든 연속분포를 갖는 확률변수를 구축할 수 있으며 역도 성립한다.$$ X \sim U(0, 1) \longleftrightarrow Y \sim \text{Arbitrary PDF} $$만약 $ F $ 가 분포의 서포트 상에서 연속이고 순증가(stric..

위치-크기 변환 (Location-Scale Transformation) $ X $ 가 확률변수이고, $ Y = \sigma X + \mu $ 라 하자. $ \sigma > 0 $ 와 $ \mu $는 상수이다. 이때 $ Y $ 는 $ X $ 를 위치-크기 변환하여 얻어졌다고 말한다. 여기서 $ \mu $ 는 위치 변화를, $ \sigma $ 는 크기 변화를 조절한다.이 기법은 이산확률변수에는 적용 불가능하며, 확률밀도함수(PDF)가 아니라 확률변수 자체에 적용해야 한다. 연속균등분포에 적용 이를 연속균등분포에 적용하여 볼 수 있다.$ X \sim U (a, b) $ 이라 하면 변환 $ Y = \sigma X + \mu $ 는 균등성(uniformity)을 보존한다. 즉 다음과 같다.$$ Y \sim U ..

연속균등분포 (Continuous Uniform Distribution) 실수 $ a $ 에서 $ b $ 사이의 값을 선택할 확률이 동일할 때, $ a $ 에서 $ b $ 사이 선택 값을 확률변수 $ X $ 라 하면, 확률변수 $ X $ 는 연속균등분포를 따른다고 한다.$ X \sim U(a, b) $      or      $ X \sim \text{Unif}(a, b) $확률변수 $ X $ 가 $ a $ 에서 $ b $ 까지의 실수를 선택하는 연속균등분포를 따를 때 위와 같이 나타낸다. 이산적이지 않고, 연속적으로 확률변수 값이 나타나기 때문에 연속확률분포이다.연속균등분포가 중요한 이유는 임의의 분포함수 $ F(y) $ 를 따르는 확률변수 $ Y $ 의 관측값 집합을 구할 때, 연속균등분포를 따르는 ..

헤더파일 분할 작성 C 나 C++ 에서나 동일하게 작동하나 클래스를 활용하는 C++ 중심으로 설명하겠다.클래스나 함수 등을 선언부, 구현부로 나누고, 이 파일을 분리해서 작성하면 재사용이 가능하다는 장점이 있다. 선언부는 헤더파일(.h)로 작성하고, 구현부는 cpp 파일로 작성하며, main 함수와 전역 함수, 변수 등은 또 다른 cpp 파일에 작성해 컴파일하면서 병합하는 것이다.예를 들어 계산기 클래스를 만들고, 이를 실행하는 프로그램을 구현한다면, 다음과 같이 파일을 나누어서 작성할 수 있다.// Calculator.hclass Calculator{public: int add(int a, int b); int sub(int a, int b); int mul(int a, int b); ..

얕은 복사와 깊은 복사 얕은 복사 (Shallow Copy)객체를 복사할 때 객체의 멤버 변수를 단순히 복사하는 방식이다. 단순한 기본 자료형이 멤버 변수일 때는 문제가 없지만, 멤버 변수가 포인터 변수라면 포인터 변수의 값을 복사하기 때문에, 즉 주소값을 복사하기 때문에 문제가 생길 수 있다. 주소값을 복사했기 때문에 원본 객체와 복사된 객체의 해당 포인터 멤버 변수는 같은 주소를 가리키고 있고, 하나의 객체에서 해당 변수가 가리키고 있는 값에 대한 수정이 이루어지면 다른 객체에까지 영향을 미치게 된다.예를 들어 다음 코드를 확인하자.#include using namespace std;class ShallowCopy {public: int* data; ShallowCopy(int val) {..