마르코프 부등식 (Markov Inequality)
러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름을 딴 확률론의 절대부등식으로 간단하며 굉장히 많이 사용된다. 이는 확률변수 $X $ 과 양수 $ c $ 에 대하여 다음과 같다.
$$ \dfrac{E(X)}{c} \geq P(X \geq c) $$
증명은 다음과 같다.
$ X \geq 0 $ 이므로 임의의 양수 $ c $ 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
$ X \geq c \cdot I_{X \geq c} $
여기서 기댓값을 취하면 다음과 같다.
$ E(X) \geq E( c \cdot I_{X \geq c}) = c E(I_{X \geq c}) $
근본가교를 적용하면 다음과 같다.
$ E(X) \geq c P(X \geq c) $
양변을 $ c $ 로 나누면 다음과 같다.
$ \dfrac{E(X)}{c} \geq P(X \geq c) $
