수열의 극한 (Limit Sequence)
임의의 각 실수 $ \epsilon > 0 $ 에 대하여 모든 $ n \geq N $ 에 대해 $ | a_n - L | < \epsilon $ 인 $ N \in \mathbb{N} $ 이 존재하면 $ L $ 을 수열 $ a_n $ 의 극한이라 하며, 수열 $ a_n $ 은 극한 $ L $ 로 수렴한다고 한다. 이를 다음과 같이 나타낸다.
$$ a_n \to L \qquad \text{or} \qquad \lim_{n\to\infty} a_n = L $$
기호식으로 표현하면 다음과 같다.
$$ \forall \epsilon > 0 \left( \exists N \in \mathbb{N} \left( \forall n \in \mathbb{N} \left( n \geq N \to | a_n - L | < \epsilon \right) \right) \right) $$
위 수학적 정의보다 부정확하지만 말로 풀어 설명하면 $ n $ 이 $ \infty$ 로 갈 때 $ a_n $ 이 $ L $ 에 한없이 접근하면 수열 $ a_n $ 이 극한 $ L $ 에 수렴한다고 하는 것이다.
여기서 수렴하는 수열이 확률변수의 열이라 생각하면 다양한 측면에서 활용할 수 있다.
확률변수의 열 (Random Variable Sequence)
확률변수의 열이란 각각의 확률변수들이 순서대로 배열된 집합을 말한다.
단순화를 위해 유한 표본공간 $ S = \{s_1, s_2, \cdots, s_k \} $ 에 대하여 확률변수의 정의로부터 확률변수 $ Y : S \to \mathbb{R} $ 를 가정하자. 그렇다면 $ i = 1, 2, \cdots, k $ 에 대하여 다음과 같다.
$$ Y (s_i) = y_i , \qquad (s_i \in S) \land (y_i \in \mathbb{R}) $$
확률변수의 열 $ Y_1, Y_2, \cdots $ 에서 각 $ Y_n $ 은 $ S $ 에서 $ \mathbb{R} $ 로 가는 함수이므로 다음과 같다.
$$ Y_n (s_i) = y_{ni} , \qquad (i = 1, 2, \cdots, k) $$
즉 확률변수의 열은 함수 $ Y_n : S \to \mathbb{R} $ 의 열이다.
