특성함수 (Characteristic Function)
실수 $ t $ 에 대해 확률변수 $ X $ 에 대한 특성함수 $ \phi_X (t) $ 는 다음과 같이 정의된다.
$$ \phi _X (t) = E \left( e^{itX} \right) $$
이는 각 확률분포와 일대일대응되는 함수로 적률생성함수와 마찬가지로 이를 활용하여 기댓값이나 분산 등의 값을 얻어낼 수 있다. 일대일대응이기에 어떤 확률변수 $ X $ 와 $ Y $ 의 특성함수가 같다면 두 확률변수의 확률분포가 같다는 의미이고, 역으로 $ X $ 와 $ Y $ 의 확률분포가 같다면 특성함수 역시 같다.
적률생성함수와 다른 점은 적률생성함수의 경우 일부 분포에 대해서는 존재하지 않을 수 있지만, 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다.
독립인 두 확률변수 $ X $ 와 $ Y $ 의 합의 특성함수는 다음과 같다.
$$ \phi_{X+Y} (t) = E \left( e^{it(X+Y)} \right) = E \left( e^{itX + itY} \right) = E \left( e^{itX} \right) \left( e^{itY} \right) = \phi _X(t) \phi_Y(t) $$
$ X / n $ 에 대하여는 다음과 같다.
$$ \phi_{X/n} (t) = E \left( e^{itX/n} \right) = \phi_X(t/n) $$
