레비 연속성 정리 (Lévy's Continuity Theorem)
확률변수의 열 $ X_1, X_2, \cdots $ 에 대응하는 특성함수의 열을 $ \phi_1, \phi_2, \cdots $ 이라 하자. 여기서 특성함수는 다음과 같이 정의된다.
$$ \phi_n(t) = E\left( e^{itX_n} \right) \qquad \forall t \in \mathbb{R} , \forall n \in \mathbb{N} $$
만일 특성함수의 열이 어떤 함수 $ \phi $ 로 점별수렴한다고 가정하자. 즉 다음이 성립한다고 가정하자.
$$ \lim_{n \to \infty} \phi_n (t) = \phi(t) $$
그렇다면 아래 명제들은 모두 동치이다.
- $ X_n $ 이 어떤 확률변수 $ X $ 로 분포수렴한다. 즉 $ X_n \overset{d}{\to} X $
- $ \phi(t) $ 는 어떤 확률변수 $ X $ 의 특성함수이다.
- $ \phi(t) $ 는 $ t $ 의 연속함수이다.
- $ \phi(t) $ 는 $ t=0 $ 에서 연속이다.
