Mathematics/Discrete Mathematics

바닥 함수 (Floor Function) $$ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x \} $$입력값 이하의 가장 큰 정수를 반환하는 함수로, 내림 함수, 버림 함수, 최대 정수 함수라고도 한다. 기호로 표기할 때 $ [x] $ 를 사용하기도 한다.예를 들어 $ \lfloor 8.5 \rfloor = 8 $ 이고, $ \lfloor -8.5 \rfloor = -9 $ 이다.바닥 함수를 이용해서 실수의 소수 부분만 분리도 가능하다. 예를 들어 $ 8.12 $ 의 소수 부분은 $ 8.12 - \lfloor 8.12 \rfloor $ 이다. 천장 함수 (Ceiling Function) $$\lceil x \rceil = \min \{ n \in..

수학적 체계 공리 (Axioms)증명없이 참으로 받아들여지는, 즉 다른 명제로부터 연역되지 않는 명제를 말한다.정의 (Definitions)기존 개념을 사용하여 어떠한 개념의 의미를 규정하는 것이다. 수학적 방법을 통해 좀 더 명확히 표현 가능하다.무정의 용어 (Undefined Terms)명시적으로 정의되지 않으며, 공리나 직관에 의해 암묵적으로 이해되는 기초적인 용어이다. 다른 개념을 설명하기 위해 필요한 기본 용어로, 순환 오류를 방지하기 위해 명시적으로 정의하지 않는다. 예를 들어, 집합론에서의 '집합'이나 기하학에서의 '점'과 '선'이 무정의 용어에 해당한다.정리 (Theorem)공리, 정의를 기초로 연역적으로 이끌린 명제로 참임이 증명된 명제이다.보조정리 (Lemma)다른 정리를 증명하는 데에..

명제함수 (Propositional Function) 혹은 술어 (Predicate) 명제는 참이나 거짓이 결정되어 있어야 한다. 예를 들어 " $ P $ : $ n $ 은 짝수이다" 같은 형태는 $ n $ 에 따라 $ P $ 가 True 혹은 False 로 결정되기 때문에 명제라 할 수 없다.이러한 문장 " $ P $ : $ n $ 은 짝수이다"를 바꾸어서 $ P(x) $ 와 같이 형태로 표현할 수 있다. 이 $ P(x) $ 와 집합 $ D $ 가 주어졌을 때, 각 $ x \in D $ 에 대해 $ P(x) $ 가 명제이면 $ P $ 를 ($ D $ 에 대한) 명제함수, 혹은 술어라 한다. 또한 $ D $ 를 $ P $ 의 논의영역(the domain of discourse)이라 한다. 전칭한정 (Un..

논법 (Argument) 논법(혹은 논증)은 다음과 같이 제시된 일련의 명제들로 구성된다.$$ \begin{align*} & p_1 \\ & p_2 \\ \vdots \\ & p_n \\ \hline & \therefore q \end{align*} $$$$ \text{or} $$$$ p_1, p_2, \cdots , p_n / \therefore q $$논법이 유효(valid)하려면 $ p_1 $, $ p_2 $, $ \cdots $, $p_n $ 이 모두 참인 경우 $ q $ 도 반드시 참이어야 한다. 그렇지 않다면 논즈은 무효(invalid)이다. 앞선 명제, 즉 $ p_1 $, $ p_2 $, $ \cdots $, $p_n $ 은 가설(hypotheses) 또는 전제(premises)라 하며, 명..

명제 (Proposition) 참인지 거짓인지 알 수 있는 문장특정 명제를 $ p, q, r $ 등으로 나타냄$ p: 1 + 1 = 3 $ 과 같은 형식 논리 연산과 진리표 $ \land $ | 논리곱 (Conjunction)둘 다 참일 때만 참이다.$$ p $$$$ q $$$$ p \land q $$TrueTrueTrueTrueFalseFalseFalseTrueFalseFalseFalseFalse$ \lor $ | 논리합 (Disjunction)둘 다 거짓일 때만 거짓이다.$$ p $$$$ q $$$$ p \lor q $$TrueTrueTrueTrueFalseTrueFalseTrueTrueFalseFalseFalse$ \lnot $ | 부정 (Negation)명제가 거짓이면 참이고, 참이면 거짓이다.$..

집합 표기법 집합(set)은 객체들, 즉 원소(element, member)의 모임이다. 원소의 순서는 상관없으며 중복도 가능하다. 집합은 중괄호 {} 로 묶어서 표현하며 집합 내 원소를 표현하는 방법은 다음 세 가지가 있다.원소 나열법집합 내 원소들을 일일이 나열하여 집합을 표기한다.$$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$조건 제시법집합의 원소가 될 수 있는 조건을 조건식으로 표기한다.$$ A = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x 벤다이어그램집합과 원소의 포함관계를 그림으로 표기한다. 기본 용어 $ | X | $ | 기수 (Cardinality)집합이 유한집합일 때 원소의 개수를 말한다. 예를 들어 유한집합 $ X $ 가 있다고 할 때 $ |X| $ 는 $ X $ 의 ..