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초기하분포 (Hypergeometric Distribution) 크기가 $ N $ 인 모집단에 $ r $ 개의 관심집단이 포함되어 있고, 여기서 $ n $ 개의 표본을 비복원추출하였을 때, 표본에서 관심집단의 수를 확률변수 $ X $ 라 하면, 확률변수 $ X $ 가 초기하분포를 따른다고 한다. $ X \sim H(N, n, r) $      or      $ X \sim \text{HGeom}(N, n, r) $확률변수 $ X $ 가 모집단 크기가 $ N $, 모집단 내 관심집단의 크기가 $ r $, 표본의 크기가 $ n $ 인 초기하분포를 따를 때 위와 같이 나타낸다. 단 누구는 모집단의 크기 대신 모집단에서 관심집단의 크기를 제외한 크기, 즉 $ N - r $ 을 사용하기도 하며, $ N $, $ ..

표시확률변수 (Indicator Random Variables) 표시확률변수는 사건이 발생하면 $1$, 발생하지 않으면 $0$ 을 갖는 확률변수이다. 즉 다음과 같다.$$ I_A = \begin{cases} 1 & \text{Event A occurs} \\ 0 & \text{Event A does not occur} \end{cases} $$또한 사건 $ A $ 와 $ B $ 가 다음에 대해 성립한다.$$ (I_A)^k = I_A \quad k \in \mathbb{Z}^+ $$$$ I_{A^C} = 1-I_A $$$$ I_{A \cap B} = I_A I_B $$$$ I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_A I_B $$표시확률변수가 $0$ 또는 $1$ 의 값을 가진다는 것을 생각하면 위..

기하분포 (Geometric Distribution) 성공확률이 $ p $ 인 베르누이 시행을 반복할 때, 즉 이항실험을 할 때 처음 성공할 때까지 시행 횟수를 확률변수 $ X $ 라 하면, 확률변수 $ X $ 가 기하분포를 따른다고 한다.$$ X \sim \text{Geom}(p) $$확률변수 $ X $ 가 성공확률이 $ p $ 인 기하분포를 따를 때 위와 같이 나타낸다. 일반적으로는 성공까지 시도한 횟수를 기준으로 기하분포를 말하지만, 처음 성공할 때 까지 실패한 횟수로 기하분포를 말하기도 하기 때문에 주의가 필요하다. 이항분포와 마찬가지로 이산확률분포이다.지수분포와 같이 대표적인 무기억분포(memoryless distribution)인데, 무기억분포란 현재 상태에서 미래의 결과가 과거의 결과와 무관..

베르누이분포 (Bernoulli Distribution) 베르누이 시행 (Bernoulli Tria)시행 시 두 개의 결과, 즉 성공과 실패만 존재하는 시행이다. 시행에서 성공확률은 $ p $ 로 일정하다. 베르누이분포$ X \sim \text{Bern}(p) $      or      $ X \sim \text{Bernoulli}(p) $베르누이 시행의 분포를 말한다. 확률변수 $ X $ 가 성공확률이 $ p $ 인 베르누이분포를 따르는 경우 위와 같이 나타낸다. 실패 확률 $ 1-p $ 를 $ q $ 로 나타내기도 한다. 베르누이 시행이 이산적이기 때문에 당연히 $ X $ 는 이산확률변수이며 베르누이분포는 이산확률분포이다. 베르누이분포의 성질 $ X \sim \text{Bernoulli}(p) $ 일..

확률생성함수 (Probability Generating Function, PGF) 적률생성함수와 유사한 함수로 확률변수가 이산확률변수이고 기댓값이 존재할 때 해당 확률변수의 확률생성함수가 존재한다고 말하며 다음과 같이 정의한다.$$ G_X(t) = E\left(t^X\right) = \sum_{i=0}^\infty t^i p(i) $$그리고 아래와 같이 전개 가능하다.$$ G_X(t) = p_0 + p_1t + p_2t^2 + \cdots $$따라서 $ G_X(t) $ 를 알고 있고, 전개 가능하다면 $ t^x $ 의 계수로서 $ p(x) $ 를 구할 수 있다. 또한 $ G_X(t) $ 를 반복적으로 미분하면 확률변수 $ X $ 에 대한 계승적률(factorial moment)을 구할 수 있다.확률생성함..

독립항등분포 (Independent and Identically Distributed) 통계학에서 자주 i.i.d.로 표기되는 독립항등분포는 이항분포처럼 특정 분포를 나타내는 것이 아니라 하나의 가정이다. 이름에서 드러나듯이 각 확률변수들이 상호 독립적이고, 동일한 확률분포를 따른다는 가정을 말한다.상호 독립적(independent)이란 말은 각 확률변수가 다른 확률변수에 영향을 주지 않는다는 뜻이다. 예를 들어 게임에서 팀을 선택하는데, 처음 사람이 팀을 선택할 때 그 사람의 실력과 어느 팀을 선택하는지가 공개되어 있다면, 그 후 사람들의 선택에 첫 사람의 선택이 영향을 끼치기 때문에 독립적이지 않은 것이다.동일한 확률분포(indentically distributed)를 따른다는 말은 같은 모집단에서 ..

스택  스택이란 스택은 후입선출(LIFO, Last In First Out) 방식으로 동작하는 자료구조이다. 즉 마지막에 삽입된 데이터가 가장 먼저 삭제된다는 뜻이다. 무엇인가를 쌓고 나서 치우려고 하면 가장 나중에 쌓은 것인 가장 위부터 치워야 하는 것과 같다. 웹 브라우저의 뒤로 가기 기능이나 프로그램에서 괄호가 제대로 열고 닫혔는지 검사할 때 사용되기도 한다.이러한 성질 때문에 스택은 가장 상위 데이터에만 접근할 수 있다. 상위 데이터를 삭제하거나, 확인하는 것은 가능하지만, 그 아래 데이터에 접근하려면 상위 데이터를 제거해 나가면서 접근해야 한다. 최상위 데이터에만 접근할 수 있다는 것은 최상위 데이터만 관리하면 된다는 뜻이기에 데이터를 관리하는 데에 드는 자원을 적게 소모한다는 뜻이기도 하다. ..

왜도와 첨도 왜도와 첨도는 확률분포의 기울어짐과 꼬리 두께에 관한 측도이다. 여기(링크)를 참고하여 대강의 개념을 알면 좋다. 왜도 (Skewness)$$ \gamma_1 = \dfrac{E\left[ (X-\mu)^3\right]}{\sigma^3} $$$ \gamma_1 $ 혹은 $ S_k $ 로 표기한다.첨도 (Kurtosis)$$ \gamma_2 = \dfrac{E\left[(X-\mu)^4\right]}{\sigma^4} $$$ \gamma_2 $ 혹은 $ K $ 로 표기한다. 표준정규분포의 첨도가 3 이기 때문에 위 첨도 값에서 3 을 빼서 사용하기도 하며, 이때의 첨도를 초과 첨도라 한다. 적률 (Moment) 원래 '적률'은 수학에서의 용어인데, 통계학에서 빌려와 사용한다. 따라서 '적률'..

수열 (Sequence) 수열 $ s $ 는 정의역 $ D $ 가 정수의 부분집합인 함수이다. $ s(n) $ 대신 $ s_n $ 표기법을 사용하며, 이때 $ n $ 을 수열의 인덱스(index)라 한다. $ D $ 가 유한 집합인 수열을 유한 수열, 그렇지 않으면 무한 수열이라 한다. 수열은 $ s $ 으로 표기하고, 수열의 단일 원소는 인덱스를 붙여 $ s_n $ 으로 나타낸다.무한 수열은 다음과 같은 수열을 고려해 확인해볼 수 있다. 수열 $ s : 2, 4, 6, \dots , 2n , \dots $ 을 고려하면 $ n $ 번째 원소는 $ 2n $ 이다. 만약 정의역이 양의 정수 집합 $ \mathbb{Z}^+ $ 라면 $ s_1 = 2, s_2 = 4, \dots , s_n = 2n, \dots..

함수의 정의 함수는 어떤 집합의 각 원소를 다른 어떤 집합의 각 원소에 유일하게 대응시키는 관계를 말한다. 예를 들어 $ X $ 와 $ Y $ 가 집합일 때 $ X $ 에서 $ Y $ 로의 함수 $ f $ 는 $ f : X \to Y $ 로 나타낸다. 이는 카테시안 곱 $ X \times Y $ 의 부분집합으로 정의되며 카테시안 곱은 $ \{ (x,y) \mid x \in X, y \in Y \} $ 이다. 각 $ x \in X $ 에 대해 정확히 하나의 $ y \in Y $ 가 존재하여 $ (x,y) \in f $ 를 만족하는 성질을 가진다. 이를 $ f(x) = y $ 라 표기한다.이때 집합 $ X $ 를 정의역(domain)이라 하고, 집합 $ Y $ 를 공역(codomain)이라 한다. $ f $..