[Mathematical Statistics] 확률생성함수(PGF)

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확률생성함수 (Probability Generating Function, PGF)

 

적률생성함수와 유사한 함수로 확률변수가 이산확률변수이고 기댓값이 존재할 때 해당 확률변수의 확률생성함수가 존재한다고 말하며 다음과 같이 정의한다.

$$ G_X(t) = E\left(t^X\right) = \sum_{i=0}^\infty t^i p(i) $$

그리고 아래와 같이 전개 가능하다.

$$ G_X(t) = p_0 + p_1t + p_2t^2 + \cdots $$

따라서 $ G_X(t) $ 를 알고 있고, 전개 가능하다면 $ t^x $ 의 계수로서 $ p(x) $ 를 구할 수 있다. 또한 $ G_X(t) $ 를 반복적으로 미분하면 확률변수 $ X $ 에 대한 계승적률(factorial moment)을 구할 수 있다.

확률생성함수는 적률을 구하는 데에 사용되기도 하고, 해당 확률변수와 연관된 다른 정수값 확률변수의 확률분포를 도출하는 데에 이용되기도 한다.

 

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계승적률 (Factorial Moment)

 

확률변수 $ X $ 의 $ n $ 차 계승적률은 다음과 같이 정의된다.

$$ \mu_{[n]} = E\left[ X(X-1)(X-2) \cdots (X-n+1)\right] $$

 

• 1차 계승적률

$$ \mu_{[1]} = E(X) $$

• 2차 계승적률

$$ \mu_{[2]} = E\left[X(X-1)\right] $$

 

확률생성함수를 이용해서 확률변수 $ X $ 의 계승적률을 구하는 것은 아래와 같다.

$$ \dfrac{d^kG_X(t)}{dt^k} \bigg]_{t=1} = G_X^{(k)}(1) = \mu_{[k]} $$

즉 한 번 미분하고 $ t $ 에 1 을 대입하면 1차 계승적률을, 두 번 미분하면 2차 계승적률을 얻을 수 있다.

확률생성함수를 미분하여 계승적률을 구할 수 있는 이유는 다음과 같다.

$ G_X(t) = p_0 + p_1t + p_2t^2 + \cdots $

이므로 

$ G_X^{(1)}(t) = \dfrac{dG_X(t)}{dt} = p_1 + 2p_2t + 3p_3t^2 + \cdots $

$ G_X^{(2)}(t) = \dfrac{d^2G_X(t)}{dt^2} = (2)(1)p_2 + (3)(2)p_3t + (4)(3)p_4t^2 + \cdots $

이고, 일반적으로 나타내면

$ G_X^{(k)}(t) = \dfrac{d^kG_X(t)}{dt^k} = \sum_{x=k}^\infty x(x-1)(x-2) \cdots(x-k+1)p(x)t^{x-k} $

이다.

이제 1 을 대입하면 다음을 얻는다.

$ G_X^{(k)} (1) = \sum_{x=k}^\infty x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)p(x) $

$ = E\left[ X (X-1) (X-2) \cdots (X-k+1)\right] = \mu_{[k]} $