지수분포 (Exponential Distribution)
확률변수 $ X $ 가 지수분포를 따른다는 말은 형상모수가 1 인 감마분포를 따른다는 말과 같다. 또한 사건이 독립적일 때 다음 사건이 일어날 때까지의 대기 시간은 지수분포를 따른다.
확률변수 $ X $ 가 대기 시간이 $ \beta $ 인 지수분포를 따른다면 다음과 같이 나타낸다.
$$ X \sim \text{Expo}(\beta) $$
푸아송분포에서 관심을 가진 것이 명시된 영역에서 특정 사건이 평균적으로 발생하는 사건이 $ \lambda $ 일 때 특정 사건이 $ x $ 번 발생할 확률이었다면, 지수분포는 다음 사건까지의 평균적인 대기 시간이 $ \beta $ 일 때의 확률에 관심을 가지는 것이다. 기하분포와 비교하면 기하분포는 첫번째 성공까지의 시행 횟수가 따르는 분포였다면 지수분포는 첫번째 성공까지의 대기 시간이 따르는 분포인 것이다. 이때 시간당 평균 성공 횟수를 $ \lambda $ 라 하면 $ \beta = 1 / \lambda $ 이다.
기하분포와 같은 대표적인 무기억분포(memoryless distribution)이다. 즉 다음이 성립한다.
$$ P (Y > a+b \mid Y > a) = P (Y > b) $$
조건부확률의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$ P(Y > a+b \mid Y > a) = \dfrac{P(Y > a+b)}{P(Y>a)} $
이제 다음을 계산한다.
$ P(Y>a+b) = \int_{a+b}^\infty \dfrac{1}{\beta} e^{-y /\beta} dy = e^{-(a+b) / \beta} $
$ P(Y > a) = \int_a^\infty \dfrac{1}{\beta} e^{-y /\beta} dy = e^{-a / \beta} $
따라서 다음이 성립한다.
$ P(Y > a+b \mid Y > a) = \dfrac{e^{-(a+b) / \beta}}{e^{-a / \beta}} = e^{-b / \beta} = P(Y > b) $
지수분포는 $ (0, \infty) $ 의 값을 갖는 유일한 무기억 연속분포이고, 기하분포는 $ \{0, 1, 2, \dots \} $ 의 값을 갖는 유일한 무기억 이산분포이다.
지수분포의 성질
$ X \sim \text{Expo}(\beta) $ 이고, $ \lambda = 1 / \beta $ 일 때 다음이 성립한다.
- 확률밀도함수 (PDF)
$$ f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} $$
- 누적분포함수 (CDF)
$$ F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} $$
- 기댓값
$$ E(X) = \beta $$
- 표준편차
$$ \sigma_X = \beta $$
- 적률생성함수 (MGF)
$$ M_X(t) = \dfrac{1}{1-\beta t} $$
