[Mathematical Statistics] 감마분포(gamma distribution)

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감마분포 (Gamma Distribution)

 

어떤 확률변수들은 항상 음이 아니고, 여러 이유에서 분포가 비대칭이다. 대표적으로 감마분포가 그러하다.

확률변수 $ X $ 의 밀도함수가 $ \alpha > 0 $ 와 $ \beta > 0 $ 에 대해 다음과 같다면 확률변수 $ X $ 가 감마분포를 따른다고 한다.

$$ f(x) = \dfrac{x^{\alpha - 1}e^{-x / \beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \qquad 0 \leq x < \infty $$

감마함수 $ \Gamma $ 는 다음과 같이 정의된다.

$ \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha - 1} e^{-t} dt $

또한 만약 $ \alpha $ 가 양의 정수라면 다음과 같다.

$ \Gamma(\alpha) = (\alpha - 1)! $

또한 확률변수 $ X $ 가 매개변수 $ \alpha $, $ \beta $ 를 가지는 감마분포를 따를 경우 다음과 같이 나타낸다.

$$ X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta) $$

이때 매개변수 $ \alpha $ 가 달라지면 감마밀도함수의 모양이 바뀌기 때문에 형상모수(shape parameter)라 하고, 감마확률변수에 양의 상수를 곱했을 때 $ \alpha $ 와 달리 $ \beta $ 는 달라지기에 $ \beta $ 를 척도모수(scale parameter)라 한다.

감마분포의 특수한 경우가 있는데, $ \alpha = 1 $ 이면 지수분포(exponential distribution), $ \alpha \in \mathbb{Z}^+ $ 이면 얼랭분포(Erlang distribution), $ \alpha = v / 2 $ 이고 $ \beta = 2 $ 라면 자유도가 $ v $ 인 카이제곱분포를 따른다고 한다.

 

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감마분포의 성질

 

$ X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta) $ 일 때 다음이 성립한다.

• 확률밀도함수 (PDF)

$$ f_X(x) = \dfrac{x^{\alpha - 1}e^{-x / \beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \qquad 0 \leq x < \infty $$

• 누적분포함수 (CDF)

$$ F_X(X) = \dfrac{\gamma(\alpha, x / \beta)}{\Gamma(\alpha)} $$

$ \gamma(s, x) $ 를 하부 불완전 감마함수라 하는데 다음과 같이 정의된다.

$ \gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt $

• 기댓값

$$ E(X) = \alpha \beta $$

• 표준편차

$$ \sigma_X = \beta \sqrt{\alpha} $$

• 적률생성함수 (MGF)

$$ M_X(t) = (1-\beta t)^{-k} \qquad t < \dfrac{1}{\beta} $$