위치-크기 변환 (Location-Scale Transformation)
$ X $ 가 확률변수이고, $ Y = \sigma X + \mu $ 라 하자. $ \sigma > 0 $ 와 $ \mu $는 상수이다. 이때 $ Y $ 는 $ X $ 를 위치-크기 변환하여 얻어졌다고 말한다. 여기서 $ \mu $ 는 위치 변화를, $ \sigma $ 는 크기 변화를 조절한다.
이 기법은 이산확률변수에는 적용 불가능하며, 확률밀도함수(PDF)가 아니라 확률변수 자체에 적용해야 한다.
연속균등분포에 적용
이를 연속균등분포에 적용하여 볼 수 있다.
$ X \sim U (a, b) $ 이라 하면 변환 $ Y = \sigma X + \mu $ 는 균등성(uniformity)을 보존한다. 즉 다음과 같다.
$$ Y \sim U (\sigma a + \mu , \sigma b + \mu) $$
만약 변환이 비선형적이라면, 예를 들어 $ Y = X^2 $ 이라면, 서포트는 $ (a^2, b^2) $ 이지만 분포는 그 구간에서 균등하지 못하다.
위치-크기 변환을 이용하여 $ X \sim U(a, b) $ 의 평균과 분산을 구할 수있다.
$ X \sim U(0, 1) \to f(x) = 1 \quad \text{for } x \in (0, 1) $ 이고 따라서
$$ E(X) = \int_0^1 x dx = \dfrac{1}{2} \quad E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = \dfrac{1}{3} \quad V(X) = \dfrac{1}{3} - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{12} $$
이제 $ U(0, 1) $ 을 $ U(a, b) $ 로 변환한다.
첫번째로 크기(scale)을 조절한다. 서포트를 길이 $ 1-0 $ 인 구간에서 길이 $ b - a $ 인 구간으로 변환한다.
두번째로 위치(location)을 조절한다. 서포트의 좌측 끝점이 $ a $ 가 되도록 이동시킨다.
결과적으로 만일 $ X \sim U(0, 1) $ 이면 $ Y = a + (b-a) X $ 이고, 변환하면 $ Y \sim U(a, b) $ 가 된다. 이제 기댓값의 선형성에 의해 다음이 성립한다.
$$ E(Y) = E(a+(b-a)X) = a + (b-a) E(X) = a + \dfrac{b-a}{2} = \dfrac{a+b}{2} $$
$$ V(Y) = V(a+(b-a)X) = V((b-a)X) = (b-a)^2 V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12} $$
