[Mathematical Statistics] 이산균등분포(discrete uniform distribution)

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이산균등분표 (Discrete Uniform Distribution)

 

유한하고 공집합이 아닌 수들의 집합 $ C $ 에서 하나의 원소를 선택할 확률이 동일할 때, 선택 값을 확률변수 $ X $ 라 하면, 확률변수 $ X $ 가 이산균등분포를 따른다고 한다.

$$ X \sim \text{DUnif}(n) $$

확률변수 $ X $ 가 $ 1 $ 에서 $ n $ 까지의 자연수 하나를 선택하는 이산균등분포를 따를 때 위와 같이 나타낸다. 주로 $ 1 $ 에서 $ n $ 까지 나타내기 때문에 위와 같이 나타내는 것이지, 범위가 $ a $ 에서 $ b $ 까지라면, $ X \sim \text{DUnif}(a, b) $ 와 같이 나타내기도 한다.

 

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이산균등분포의 성질

 

$ X \sim \text{DUnif}(n) $ 일 때 다음이 성립한다.

• 확률질량함수

$$ p_X(x) = \dfrac{1}{n} $$

만약 범위를 $ a $ 에서 $ b $ 까지로 표기한다면 $ \dfrac{1}{b-a+1} $ 이다. 즉 $ n = b - a + 1 $ 이다.

또한 범위가 아니라 집합 $ C $ 로 확률 함수의 정의역이 주어진다면, $ \dfrac{1}{|C|} $ 이다. 즉 $ n = |C| $ 이다.

확률질량함수 뿐 아니라 기댓값, 표준편차 역시 $ n $ 대신 알맞은 값을 대입하여 얻을 수 있다.

• 기댓값

$$ E(X) = \dfrac{n+1}{2} $$

• 표준편차

$$ \sigma_X = \sqrt{\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}} = \sqrt{\dfrac{n^2-1}{12}} $$

• 적률생성함수 (MGF)

$$ M_X(t) = \dfrac{1}{n} \dfrac{e^t\left(1-e^{tn}\right)}{1-e^t} \quad (t \neq 0) $$