[Mathematical Statistics] 연속균등분포(continuous uniform distribution)

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연속균등분포 (Continuous Uniform Distribution)

 

실수 $ a $ 에서 $ b $ 사이의 값을 선택할 확률이 동일할 때, $ a $ 에서 $ b $ 사이 선택 값을 확률변수 $ X $ 라 하면, 확률변수 $ X $ 는 연속균등분포를 따른다고 한다.

$ X \sim U(a, b) $      or      $ X \sim \text{Unif}(a, b) $

확률변수 $ X $ 가 $ a $ 에서 $ b $ 까지의 실수를 선택하는 연속균등분포를 따를 때 위와 같이 나타낸다. 이산적이지 않고, 연속적으로 확률변수 값이 나타나기 때문에 연속확률분포이다.

연속균등분포가 중요한 이유는 임의의 분포함수 $ F(y) $ 를 따르는 확률변수 $ Y $ 의 관측값 집합을 구할 때, 연속균등분포를 따르는 확률변수를 변환하여 그 결과를 얻을 수 있기 때문이다.

 

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연속균등분포의 성질

 

$ X \sim U(a, b) $ 일 때 다음이 성립한다.

• 확률밀도함수 (PDF)

$$ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

• 누적분포함수 (CDF)

$$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & x \in [a, b] \\ 1 & x > b \end{cases} $$

• 기댓값

$$ E(X) = \dfrac{a+b}{2} $$

• 표준편차

$$ \sigma_X = \dfrac{b-a}{\sqrt{12}} $$

• 적률생성함수 (MGF)

$$ M_X(t) = \begin{cases} \dfrac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)} & t \neq 0 \\ 1 & t = 0 \end{cases} $$