표준행렬 (Standard Matrix)
선형변환에 대해 이야기하면서 행렬을 이용한 선형변환을 행렬변환(링크)이라 하였다. 다시 정리해보자면 행렬 $ A_{m \times n} $ 과 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 $ T (\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $ 로 $ T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 을 정의한다면 $ T $ 는 선형변환이다.
일반적으로 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ 이 선형변환이라면 표준기저 $ \{ \mathbf{e_1} , \mathbf{e_2} , \cdots, \mathbf{e_n} \} $ 에 대하여 다음과 같다고 할 수 있다.
$ T(\mathbf{e_1}) = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} $, $ T(\mathbf{e_2}) = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} $, $ \cdots $, $ T(\mathbf{e_n}) = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} $
이때 $ T(\mathbf{e_1}) , T(\mathbf{e_2}), \cdots , T(\mathbf{e_n}) $ 을 열벡터로 갖는 $ m \times n $ 행렬을 $ A $ 라 하면 $ A $ 는 다음과 같다.
$$ A = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e_1}) & T(\mathbf{e_2}) & \cdots & T(\mathbf{e_n}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
이 행렬 $ A $ 는 선형변환 $ T $ 에 대한 표준행렬이라 한다.
임의의 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1 \mathbf{e_1} + x_2 \mathbf{e_2} + \cdots + x_n \mathbf{e_n} $$
그렇다면 선형변환 $ T $ 에 대하여 다시 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ T( \mathbf{x}) = x_1 T(\mathbf{e_1}) + x_2 T( \mathbf{e_2}) + \cdots + x_n T(\mathbf{e_n}) $$
이때 $ T(\mathbf{e_i}) $ $ (i = 1, 2, \cdots, n) $ 에 대하여 앞서 열벡터로 나타냈기 때문에 다음과 같다.
$$ \begin{align*} T(\mathbf{x}) &= x_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = A \mathbf{x} \end{align*} $$
즉 어떤 행렬변환이 있다면 그 행렬변환에 대한 표준행렬을 구할 수 있다.
기하학적 성질
- 2차원에서의 이동
2차원에서의 이동을 확인하기 위해 $ T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} $ 으로 정의된 선형변환 $ T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ 을 가정해보자. 이 $ T $ 에 대한 표준행렬을 알 수 있다면 벡터 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} $ 가 $ T $ 에 의하여 이동하는 $ T( \mathbf{x}) $ 를 쉽게 계산할 수 있다.
이때 $ T $ 의 표준행렬은 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $ 이므로 $ \mathbb{R}^2 $ 의 벡터 $ \overrightarrow{OP} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $ 는 $ A $ 를 곱하면 다른 벡터 $ \overrightarrow{OQ} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} $ 로 이동한다. 이러한 선형변환 $ T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ 에 대하여 특수한 경우가 있다.
$ T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix} $ 로 정의되고, 따라서 $ T $ 의 표준행렬이 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $ 일 때, 이 선형변환을 $ x $ 축에 대한 대칭이동이라 한다.
$ T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix} $ 로 정의되고, 따라서 $ T $ 의 표준행렬이 $ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ 일 때, 이 선형변환을 $ y $ 축에 대한 대칭이동이라 한다.
$ T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix} $ 로 정의되고, 따라서 $ T $ 의 표준행렬이 $ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ 일 때, 이 선형변환을 $ y=x $ 에 대한 대칭이동이라 한다.
- 정사영 (projection)
$ T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 $ 에 대하여 특수한 경우도 있는데, $ T $ 가 $ T \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $ 로 정의되고, 따라서 $ T $ 의 표준행렬이 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $ 라면 이 선형변환을 정사영이라 한다.
- 회전이동 (rotation)
2차원 공간에서의 원점에 대한 회전에 대해서도 선형변환을 정의할 수 있다. $ \mathbb{R}^2 $ 의 점 $ P(x, y) $ 를 원점에 대하여 반시계 방향으로 $ \theta $ 만큼 회전 이동하여 점 $ P^\prime(x^\prime, y^\prime) $ 로 이도하는 선형변환 $ T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ 를 정의하면, 이에 대한 표준행렬은 $ \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $ 이다. 이 선형변환을 원점에 대하여 반시계 방향으로 $ \theta $ 만큼 회전한 회전이동이라 한다.
- 역변환 (inverse treansformation)
선형변환의 표준행렬이 가역인 경우도 특수한 경우가 있다. $ T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ 인 선형변환이 $ T \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $ 이고, 즉 $ A $ 가 표준행렬이고, $ A \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} $ 라면 $ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} $ 이므로 $ A^{-1} $ 은 $ \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} $ 를 $ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $ 으로 이동하는 선형변환의 표준행렬이다. 이 선형변환을 $ T $ 의 역변환이라 하고 $ T^{-1} $ 로 나타낸다. 즉 $ T^{-1} \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $ 이 성립한다.
