[Discrete Mathematics] 바닥 함수와 천장 함수

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바닥 함수 (Floor Function)

 

$$ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x \} $$

입력값 이하의 가장 큰 정수를 반환하는 함수로, 내림 함수, 버림 함수, 최대 정수 함수라고도 한다. 기호로 표기할 때 $ [x] $ 를 사용하기도 한다.

예를 들어 $ \lfloor 8.5 \rfloor = 8 $ 이고, $ \lfloor -8.5 \rfloor = -9 $ 이다.

바닥 함수를 이용해서 실수의 소수 부분만 분리도 가능하다. 예를 들어 $ 8.12 $ 의 소수 부분은 $ 8.12 - \lfloor 8.12 \rfloor $ 이다.

 

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천장 함수 (Ceiling Function)

 

$$\lceil x \rceil = \min \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \geq x \} $$

입력값 이상의 가장 작은 정수를 반환하는 함수로 올림 함수, 최소 정수 함수라도고 한다. 기호로 표기할 때 $ ]x[ $ 를 사용하기도 한다.

예를 들어 $ \lceil 8.5 \rceil = 9 $ 이고, $ \lceil -8.5 \rceil = -8 $ 이다.

 

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성질

 

다음의 부등식들이 성립한다.

$$ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 $$

$$ x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x $$

$$ \lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil $$

$$ x \leq \lceil x \rceil < x + 1 $$

다음의 항등식 역시 성립한다.

$$ \lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor = \begin{cases} \lfloor x \rfloor & x \in \mathbb{Z} \\ \lfloor x \rfloor + 1 & x \notin \mathbb{Z} \end{cases} $$